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被动的指数

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这个例子展示了如何计算线性时不变系统的各种被动度量。

被动系统

线性系统G(s)在所有I/O轨迹下是被动的<年代pan class="inlineequation"> （ u （ t ） ， y （ t ） ） 满足

∫ 0 T y T （ t ） u （ t ） d t > 0 ， ∀ T > 0

在哪里<年代pan class="inlineequation"> y T （ t ） 表示的转置<年代pan class="inlineequation"> y （ t ） ．

为了衡量一个系统的“被动程度”，我们使用了被动指数。

  • 输入无源性指数定义为最大<年代pan class="inlineequation"> ν 这样

∫ 0 T y T （ t ） u （ t ） d t > ν ∫ 0 T u T （ t ） u （ t ） d t

当系统G为“严格无源输入”(ISP)时<年代pan class="inlineequation"> ν > 0 ．<年代pan class="inlineequation"> ν 也称为“输入前馈无源性”(IFP)指标，对应于使系统无源所需的最小前馈作用。

  • 输出无源性指标定义为最大<年代pan class="inlineequation"> ρ 这样

∫ 0 T y T （ t ） u （ t ） d t > ρ ∫ 0 T y T （ t ） y （ t ） d t

当系统G为“严格被动输出”(OSP)时<年代pan class="inlineequation"> ρ > 0 ．<年代pan class="inlineequation"> ρ 也称为“输出反馈无源性”(OFP)指标，对应于使系统无源所需的最小反馈动作。

  • I/O无源性指数定义为最大<年代pan class="inlineequation"> τ 这样

∫ 0 T y T （ t ） u （ t ） d t > τ ∫ 0 T （ u T （ t ） u （ t ） + y T （ t ） y （ t ） ） d t

系统是“非常严格被动的”(VSP)，如果<年代pan class="inlineequation"> τ > 0 ．

电路的例子

考虑下面的例子。我们取电流<年代pan class="inlineequation"> 我 作为输入和电压<年代pan class="inlineequation"> V 作为输出。基于基尔霍夫电流电压定律，我们得到了<年代pan class="inlineequation"> G （ 年代 ） ，

G （ 年代 ） ＝ V （ 年代 ） 我 （ 年代 ） ＝ （ l 年代 + R ） （ R 年代 + 1 C ） l 年代 2 + 2 R 年代 + 1 C ．

让<年代pan class="inlineequation"> R ＝ 2 ，<年代pan class="inlineequation"> l ＝ 1 而且<年代pan class="inlineequation"> C ＝ 0 ． 1 ．

R = 2;L = 1;C = 0.1;S = tf(<年代pan style="color:#A020F0">“年代”）;G = (L*s+R)*(R*s+1/C)/(L*s^2 + 2*R*s+1/C);

使用isPassive检查是否<年代pan class="inlineequation"> G （ 年代 ） 是被动的。

PF =被动(G)
PF =<年代pan class="emphasis">逻辑1

由于PF =真，<年代pan class="inlineequation"> G （ 年代 ） 是被动的。使用getPassiveIndex计算…的被动指数<年代pan class="inlineequation"> G （ 年代 ） ．

输入被动指数nu = getPassiveIndex(G，<年代pan style="color:#A020F0">“在”）
Nu = 2
输出无源性指数rho = getPassiveIndex(G，<年代pan style="color:#A020F0">“出”）
罗= 0.2857
% I/O被动指数tau = getPassiveIndex(G，<年代pan style="color:#A020F0">“输入输出”）
Tau = 0.2642

自<年代pan class="inlineequation"> τ > 0 ，系统<年代pan class="inlineequation"> G （ 年代 ） 完全是被动的。

频域特性

线性系统是被动的当且仅当它是“正实数”:

G （ j ω ） + G H （ j ω ） > 0 ∀ ω ∈ R ．

左手边的最小特征值与输入无源性指标有关<年代pan class="inlineequation"> ν ：

ν ＝ 1 2 最小值 ω λ 最小值 （ G （ j ω ） + G H （ j ω ） ）

在哪里<年代pan class="inlineequation"> λ 最小值 表示最小的特征值。同样的,当<年代pan class="inlineequation"> G （ 年代 ） 为最小相位，输出无源性指标为:

ρ ＝ 1 2 最小值 ω λ 最小值 （ G - 1 （ j ω ） + G - H （ j ω ） ） ．

在电路示例中验证这一点。绘制电路传递函数的奈奎斯特图。

尼奎斯特(G)

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个line类型的对象。这个对象表示G。

奈奎斯特的整个情节都在右半平面上<年代pan class="inlineequation"> G （ 年代 ） 是正实数。奈奎斯特曲线上最左边的点是<年代pan class="inlineequation"> （ x ， y ） ＝ （ 2 ， 0 ） 输入被动指数是<年代pan class="inlineequation"> ν ＝ 2 ，与我们之前得到的值相同。同理，奈奎斯特曲线上最左边的点<年代pan class="inlineequation"> G - 1 （ 年代 ） 给出输出被动指标值<年代pan class="inlineequation"> ρ ＝ 0 ． 2 8 6 ．

相对被动指数

可以证明“正实”条件

G （ j ω ） + G H （ j ω ） > 0 ∀ ω ∈ R

是否等同于小增益条件

| | （ 我 - G （ j ω ） ） （ 我 + G （ j ω ） ） - 1 | | < 1 ∀ ω ∈ R ．

相对无源性指数(R-index)是频率上的峰值增益<年代pan class="inlineequation"> （ 我 - G ） （ 我 + G ） - 1 当<年代pan class="inlineequation"> 我 + G 是最小相位，和<年代pan class="inlineequation"> + ∞ 否则:

R ＝ 为 （ 我 - G ） （ 我 + G ） - 1 为 ∞ ．

在时域内，r指数最小<年代pan class="inlineequation"> r > 0 这样

∫ 0 T | | y - u | | 2 d t < r 2 ∫ 0 T | | y + u | | 2 d t

该系统<年代pan class="inlineequation"> G （ 年代 ） 是被动的当且仅当<年代pan class="inlineequation"> R < 1 ，和较小的<年代pan class="inlineequation"> R 系统越被动。使用getPassiveIndex计算电路示例的r指数。

R = getPassiveIndex(G)
R = 0.5556

由此产生的<年代pan class="inlineequation"> R 值表示该电路是一个非常被动的系统。

参考文献

[1]夏，M.， P. Gahinet, N. Abroug, C. Buhr, E. Laroche。稳定性分析与控制设计中的扇形边界国际鲁棒与非线性控制杂志30日,没有。18(2020年12月):7857-82。https://doi.org/10.1002/rnc.5236．

另请参阅

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