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关于行业界限和行业指数

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圆锥的行业

在最简单的形式中，圆锥扇形是由两条线划定的二维区域，<年代pan class="inlineequation"> $y ＝一个 u$ 和<年代pan class="inlineequation"> $y ＝ b u$ ．

阴影区域的特征是不平等<年代pan class="inlineequation"> $（ y - 一个 u ）（ y - b u ） < 0$ ．更一般地，任何这样的扇区都可以参数化为:

${（ \begin{array}{c} y \\ u \end{array} ）}^{T} 问（ \begin{array}{c} y \\ u \end{array} ） < 0 ，$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 为2x2对称不定矩阵(<年代pan class="inlineequation"> $问$ 有一个正的和一个负的特征值)。我们称之为<年代pan class="inlineequation"> $问$ 的<年代pan class="emphasis">部门矩阵．这个概念可推广到高维。在n维空间中，圆锥扇形是一个集合:

$年代＝｛ z \in R^{N} ： z^{T} 问 z < 0 ｝，$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 还是一个对称不定矩阵。

部门界限

扇区边界是对系统行为的约束。增益约束和无源约束是扇区边界的特殊情况。对于所有非零输入轨迹<年代pan class="inlineequation"> $u （ t ）$ ，输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ 线性系统的<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ 满足:

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）问 z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ，$

然后输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 位于带有矩阵的圆锥扇区<年代pan class="inlineequation"> $问$ ．选择不同的<年代pan class="inlineequation"> $问$ 矩阵对系统的响应施加不同的条件。例如，考虑轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝（ G u ）（ t ）$ 和以下值:

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）．$

这些值对应于扇区边界:

$\int_{0}^{T} {（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ）}^{T} （ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

这个扇区边界等价于的被动条件<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ ：

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > 0 ， \forall T > 0 ．$

换句话说，被动性是系统上的一个特定区域，定义为:

$H ＝（ \begin{array}{c} G \\ 我 \end{array} ）．$

频域条件

因为时域条件必须对所有条件都成立<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ 在美国，推导一个等效的频域界限需要一点小心，而且并不总是可能的。让下面的:

$问＝ W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2}$

是不定矩阵的(任意)分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 它的积极和消极部分。当<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 为平方且相位最小(无不稳定零点)，则时域条件为:

$\int_{0}^{T} （ H u ）（ t ）^{T} 问（ H u ）（ t ） d t < 0 ， \forall T > 0$

等价于频域条件:

$H （ j ω ）^{H} 问 H （ j ω ） < 0 \forall ω \in R ．$

因此，检查实际频率的扇区不平等就足够了。通过分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ ，这也相当于:

${为（ W_{1}^{T} H ）（ W_{2}^{T} H ）^{- 1} 为}_{\infty} < 1 ．$

请注意,<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H$ 是广场<年代pan class="inlineequation"> $问$ 有和输入通道一样多的负特征值<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ ．如果不满足这个条件，(一般情况下)仅仅看真实频率是不够的。还要注意，如果<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 为正方形，则它必须是该扇区必须保持的最小相位。

这个频域特性是<一个href="//www.tatmou.com/in/help/control/ref/lti.sectorplot.html" class="a">sectorplot．具体地说,sectorplot绘制的奇异值<年代pan class="inlineequation"> $（ W_{1}^{T} H （ j ω ））（ W_{2}^{T} H （ j ω ））^{- 1}$ 作为频率的函数。当且仅当最大奇异值小于1时，扇区边界满足。此外，该图还包含有关满足或违反扇区界限的频带的有用信息，以及满足或违反扇区界限的程度。

例如，检查一个特定扇区的2-输出2-输入系统的扇区图。

rng (4<年代pan style="color:#A020F0">“旋风”）;H = rss(3、4、2);Q = [-5.12 2.16 -2.04 2.17 2.16 -1.22 -0.28 -1.11 -2.04 -0.28 -3.35 0.00 2.17 -1.11 0.00 - 0.18);sectorplot (H, Q)

图中包含一个轴对象。轴对象包含两个类型为line的对象。这个对象表示H。

由图可知。的最大奇异值<年代pan class="inlineequation"> $（ W_{1}^{T} H （ j ω ））（ W_{2}^{T} H （ j ω ））^{- 1}$ 在0.5 rad/s以下超过1，在3 rad/s左右的窄带内超过1。因此,H不满足所代表的扇区界限问．

相对行业指数

我们可以将相对无源性指数的概念推广到任意扇区。让<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ 是一个LTI系统，让:

$问＝ W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2} ， W_{1}^{T} W_{2} ＝ 0$

的正交分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 转化为它的积极部分和消极部分，这是很容易从舒尔分解得到的<年代pan class="inlineequation"> $问$ ．的<年代pan class="emphasis">相对行业指数 $R$ ，或R-index，定义为最小的<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 对于所有的输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ ：

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）（ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2} ） z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

因为增加<年代pan class="inlineequation"> $r$ 使<年代pan class="inlineequation"> $W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ 更消极的是，不平等通常被满足<年代pan class="inlineequation"> $r$ 足够大。但是，也有无法满足的情况，在这种情况下，r指数为<年代pan class="inlineequation"> $R ＝ + \infty$ ．显然，当且仅当时，原始扇区边界满足<年代pan class="inlineequation"> $R \leq 1$ ．

为了理解r指数的几何解释，考虑带矩阵的锥族<年代pan class="inlineequation"> $问（ r ）＝ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ ．在2D中，圆锥的倾斜角<年代pan class="inlineequation"> $θ$ 有关<年代pan class="inlineequation"> $r$ 通过

$棕褐色（ θ ）＝ r \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为}$

(见下面的图)。更普遍的是,<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色（ θ ）$ 成正比<年代pan class="inlineequation"> $R$ ．因此，给定一个带矩阵的圆锥扇形<年代pan class="inlineequation"> $问$ ， r指标值<年代pan class="inlineequation"> $R < 1$ 意味着我们可以减少<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色（ θ ）$ (把圆锥体缩小)一个倍数<年代pan class="inlineequation"> $R$ 在一些输出轨迹之前<年代pan class="inlineequation"> $H$ 离开圆锥扇区。同样,一个值<年代pan class="inlineequation"> $R > 1$ 意味着我们必须增加<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色（ θ ）$ (把圆锥体加宽)一倍<年代pan class="inlineequation"> $R$ 的所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ ．这显然使r指数成为一个相对衡量的反应如何<年代pan class="inlineequation"> $H$ 适合于特定的圆锥扇形。

在图中,

$d_{1} \frac{| W_{1}^{T} z |}{为 W_{1} 为} ， d_{2} \frac{| W_{2}^{T} z |}{为 W_{2} 为} ， R ＝ \frac{| W_{1}^{T} z |}{| W_{2}^{T} z |} ，$

和

$棕褐色（ θ ）＝ \frac{d_{1}}{d_{2}} ＝ R \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为} ．$

当<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 为平方，相位最小，则r指数在频域中也可表示为最小<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样:

$H （ j ω ）^{H} （ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2} ） H （ j ω ） < 0 \forall ω \in R ．$

使用初等代数，可以得到:

$R ＝ \underset{ω}{马克斯} 为（ W_{1}^{T} H （ j ω ））（ W_{2}^{T} H （ j ω ））^{- 1} 为．$

换句话说，r指数是(稳定的)传递函数的峰值增益<年代pan class="inlineequation"> $Φ （年代）：＝（ W_{1}^{T} H （年代））（ W_{2}^{T} H （年代））^{- 1}$ 的奇异值<年代pan class="inlineequation"> $Φ （ j w ）$ 可以看作是每个频率的“主要”r指标。这也解释了为什么绘制R-index和频率看起来像一个奇异值图(参见<一个href="//www.tatmou.com/in/help/control/ref/lti.sectorplot.html" class="a">sectorplot)．相对扇区指数与系统增益具有完全的相似性。然而，请注意，这种类比只适用于以下情况<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 为方形，最小相位。

定向行业指数

同样，我们可以将方向无源性指数的概念推广到任意扇区。给出一个带矩阵的圆锥扇形<年代pan class="inlineequation"> $问$ ，一个方向<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ ，其中指向性板块指数最大<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 对于所有的输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ ：

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）（问 + τ δ 问） z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

一个系统的定向无源性指标<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ 对应:

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）．$

方向性行业指数衡量的是我们需要在多大程度上让行业朝着这个方向发展<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ 让它紧紧地围绕着输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ ．当且仅当指向性指数为正值时，行业界限是满足的。

常见的行业

有许多方法可以指定扇区边界。接下来我们回顾常见的表达式并给出相应的系统<年代pan class="inlineequation"> $H$ 和部门矩阵<年代pan class="inlineequation"> $问$ 用于的标准格式getSectorIndex和sectorplot：

$\int_{0}^{T} （ H u ）（ t ）^{T} 问（ H u ）（ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

为了简单起见，这些描述使用以下符号:

$为 x 为_{T} ＝ \int_{0}^{T} 为 x （ t ）为^{2} d t ，$

和省略<年代pan class="inlineequation"> $\forall T > 0$ 要求。

被动

另请参阅
getSectorIndex|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">sectorplot|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">getSectorCrossover

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 关于被动性和被动性指标

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