多目标优化算法- MATLAB和Simulink MathWorks印度金宝appgydF4y2Ba - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

多目标优化算法gydF4y2Ba

多目标优化的定义gydF4y2Ba

有两个优化工具箱™解决多目标:gydF4y2BafgoalattaingydF4y2Ba和gydF4y2BafminimaxgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

fgoalattaingydF4y2Ba地址减少一组非线性函数的问题gydF4y2BaFgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)下面的一组目标gydF4y2BaF *gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba。因为有几个功能gydF4y2BaFgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba),它并不总是清楚这意味着要解决这个问题,尤其是当你不能同时实现所有的目标。因此,问题是新配方总是明确的。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba们的目标实现的问题gydF4y2Ba是最小化最大的gydF4y2BaFgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)- - -gydF4y2BaF *gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

有一个有用的任何范围的泛化问题。给定一组积极的权重gydF4y2BawgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba,gydF4y2Ba目标达到情况问题gydF4y2Ba试图找到gydF4y2BaxgydF4y2Ba最小化最大的gydF4y2Ba

\frac{{FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba}}{{wgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}} 。gydF4y2Ba

(1)gydF4y2Ba

这最小化应该是完成了同时满足所有类型的约束:gydF4y2BacgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)≤0,gydF4y2Ba量表信gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)= 0,gydF4y2Ba·xgydF4y2Ba≤gydF4y2BabgydF4y2Ba,gydF4y2BaAeq·xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba说真的gydF4y2Ba,gydF4y2BalgydF4y2Ba≤gydF4y2BaxgydF4y2Ba≤gydF4y2BaugydF4y2Ba。gydF4y2Ba

如果你设置所有重量等于1(或任何其他积极的常数),目标达到情况的问题是一样的任何范围的目标实现的问题。如果gydF4y2BaF *gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba你是积极的,设置所有的重量吗gydF4y2BawgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba=gydF4y2BaF *gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba,目标达到情况问题变得最小化之间的相对差异函数gydF4y2BaFgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)和目标gydF4y2BaF *gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

换句话说,目标达到情况的问题是减少松弛变量gydF4y2BaγgydF4y2Ba,定义为最大gydF4y2Ba我gydF4y2Ba的表达式gydF4y2Ba方程1gydF4y2Ba。这意味着表达式的正式声明的目标实现的问题:gydF4y2Ba

$\underset{xgydF4y2Ba,gydF4y2Ba γgydF4y2Ba}{最小值gydF4y2Ba} γgydF4y2Ba$

这样gydF4y2BaFgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)- - -gydF4y2BawgydF4y2Ba·gydF4y2BaγgydF4y2Ba≤gydF4y2BaF *gydF4y2Ba,gydF4y2BacgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)≤0,gydF4y2Ba量表信gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)= 0,gydF4y2Ba·xgydF4y2Ba≤gydF4y2BabgydF4y2Ba,gydF4y2BaAeq·xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba说真的gydF4y2Ba,gydF4y2BalgydF4y2Ba≤gydF4y2BaxgydF4y2Ba≤gydF4y2BaugydF4y2Ba。gydF4y2Ba

fminimaxgydF4y2Ba地址的问题最小化最大的一组非线性函数,接受所有类型的约束:gydF4y2Ba

$\underset{xgydF4y2Ba}{最小值gydF4y2Ba} \underset{我gydF4y2Ba}{马克斯gydF4y2Ba} {FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$

这样gydF4y2BacgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)≤0,gydF4y2Ba量表信gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)= 0,gydF4y2Ba·xgydF4y2Ba≤gydF4y2BabgydF4y2Ba,gydF4y2BaAeq·xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba说真的gydF4y2Ba,gydF4y2BalgydF4y2Ba≤gydF4y2BaxgydF4y2Ba≤gydF4y2BaugydF4y2Ba。gydF4y2Ba
显然,这个问题是一个特例的任何范围的目标实现的问题,gydF4y2BaF *gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba= 0gydF4y2Ba和gydF4y2BawgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba= 1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

算法gydF4y2Ba

目标实现方法gydF4y2Ba

本节描述了gydF4y2BaGembicki目标达到情况的方法gydF4y2Ba[3]gydF4y2Ba。这种方法使用一组设计目标,gydF4y2Ba ${FgydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba {gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba},gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{2gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba},gydF4y2Ba …gydF4y2Ba,gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{米gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba}}gydF4y2Ba$ ,与一组相关的目标,gydF4y2BaFgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)= {gydF4y2BaFgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba),gydF4y2BaFgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba),…gydF4y2BaFgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)}gydF4y2Ba。问题制定目标可以——或者overachieved下,使设计师能够相对精确的初始设计目标。的相对程度的不足或超过预期的成就目标是由一个向量的加权系数,gydF4y2BawgydF4y2Ba= {gydF4y2BawgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2BawgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba、……gydF4y2BawgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba}gydF4y2Ba,表示为一个标准的使用配方优化问题gydF4y2Ba

\underset{γgydF4y2Ba \ingydF4y2Ba ℜgydF4y2Ba,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba \ingydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba}{最小化gydF4y2Ba} γgydF4y2Ba

(2)gydF4y2Ba

这样gydF4y2Ba ${FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {wgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} γgydF4y2Ba \leqgydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba},gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba$

这个词gydF4y2BawgydF4y2Ba_我gydF4y2BaγgydF4y2Ba介绍一个元素的gydF4y2Ba懈怠gydF4y2Ba的问题,否则将被严格的目标实现。权重向量,gydF4y2BawgydF4y2Ba,使设计师表达的相对目标之间的权衡。例如,设置权重向量gydF4y2BawgydF4y2Ba等于初始目标表明,相同的比例不足或超过预期的成就的目标,gydF4y2BaF *gydF4y2Ba是实现。你可以把硬约束融入设计通过设置一个特定的权重因子为零(即,gydF4y2BawgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba= 0gydF4y2Ba)。目标实现的设计方法提供了一个方便直观的解释问题,可以使用标准的优化过程。说明性的例子在控制系统设计中使用的目标实现方法可以找到在弗莱明(gydF4y2Ba[10]gydF4y2Ba和gydF4y2Ba[11]gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

目标实现方法是在下图在二维几何表示。gydF4y2Ba

图7 - 1中,目标达到情况的几何表示方法gydF4y2Ba

情节的[f *、₂*] + [w_1, w_2] *γ。也是一个情节(f, f₂)的可行域空间对于一个给定的xγ的值不同。最优点是线相交的可行域与γ的值。gydF4y2Ba

规范的目标,gydF4y2Ba ${gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba},gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{2gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba}}gydF4y2Ba$ ,定义了目标点,gydF4y2BaPgydF4y2Ba。权重向量定义了搜索的方向gydF4y2BaPgydF4y2Ba可行的函数空间,gydF4y2BaΛ(gydF4y2BaγgydF4y2Ba)gydF4y2Ba。在优化gydF4y2BaγgydF4y2Ba是不同的,可行域的大小变化。约束边界点收敛于独特的解决方案gydF4y2BaFgydF4y2Ba_{1gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba},gydF4y2BaFgydF4y2Ba_{2gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba}。gydF4y2Ba

算法改进的目标达到情况的方法gydF4y2Ba

目标实现方法的优点是它可以构成一个非线性规划问题。问题的特征也可以利用非线性规划算法。在序贯二次规划(SQP),选择价值函数的线搜索并不容易,因为在许多情况下,很难“定义”改善目标函数之间的相对重要性,减少约束违反。这导致了许多不同的方案,构建价值函数(见,例如,SchittkowskigydF4y2Ba[36]gydF4y2Ba)。在目标达到情况编程可能会有一个更合适的价值函数,可以实现通过摆姿势gydF4y2Ba方程2gydF4y2Ba的极小极大问题gydF4y2Ba

\underset{xgydF4y2Ba \ingydF4y2Ba {ℜgydF4y2Ba}^{ngydF4y2Ba}}{最小化gydF4y2Ba} \underset{我gydF4y2Ba}{马克斯gydF4y2Ba} {gydF4y2Ba {ΛgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}}gydF4y2Ba,gydF4y2Ba

(3)gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba

${ΛgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba \frac{{FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba}}{{wgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}},gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba$

后布雷顿等人的观点。gydF4y2Ba[1]gydF4y2Ba使用SQP极大极小优化,使用的价值功能gydF4y2Ba方程30gydF4y2Ba目标实现的问题gydF4y2Ba方程3gydF4y2Ba给了gydF4y2Ba

ψgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba,gydF4y2Ba γgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba γgydF4y2Ba +gydF4y2Ba {\sumgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba}^{米gydF4y2Ba} {rgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} \cdotgydF4y2Ba 马克斯gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba,gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {wgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} γgydF4y2Ba -gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba}}gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

(4)gydF4y2Ba

当的价值功能gydF4y2Ba方程4gydF4y2Ba作为一条线搜索过程的基础上,然后,虽然gydF4y2BaψgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaγgydF4y2Ba)gydF4y2Ba可能减少在一个给定的搜索方向迈出的一步,这个函数gydF4y2Ba马克斯gydF4y2BaΛgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba可能矛盾增加。这是接受退化在最坏情况下的目标。从最坏的情况下目标负责目标函数的值gydF4y2BaγgydF4y2Ba这是接受的步骤,最终增加了目标函数是最小化。相反,gydF4y2BaψgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaγgydF4y2Ba)gydF4y2Ba可能增加时gydF4y2Ba马克斯gydF4y2BaΛgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba减少,暗示拒绝改善最坏的情况下目标的一步。gydF4y2Ba

行后布雷顿等。gydF4y2Ba[1]gydF4y2Ba因此设置,一个解决方案gydF4y2BaψgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba最坏的情况下的目标,也就是说,gydF4y2Ba

ψgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba \underset{我gydF4y2Ba}{马克斯gydF4y2Ba} {ΛgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} 。gydF4y2Ba

(5)gydF4y2Ba

目标实现方法的一个问题是,通常使用一个加权系数等于0将硬约束。的价值功能gydF4y2Ba方程5gydF4y2Ba就变成了无限的任意违反约束。gydF4y2Ba

要解决这个问题,同时仍然保留的特点gydF4y2Ba方程5gydF4y2Ba,价值函数的结合gydF4y2Ba方程31gydF4y2Ba提供以下:gydF4y2Ba

ψgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {\sumgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba}^{米gydF4y2Ba} {gydF4y2Ba \begin{array}{l} {rgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} \cdotgydF4y2Ba 马克斯gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba,gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {wgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} γgydF4y2Ba -gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}^{*gydF4y2Ba}}gydF4y2Ba & 如果gydF4y2Ba {wgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba \\ \underset{我gydF4y2Ba}{马克斯gydF4y2Ba} {ΛgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba & 否则gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba \end{array}

(6)gydF4y2Ba

另一个功能,可以利用SQP目标函数gydF4y2BaγgydF4y2Ba。从马方程可以表明,近似的黑森拉格朗日,gydF4y2BaHgydF4y2Ba,应该有0与变量相关联的行和列gydF4y2BaγgydF4y2Ba。然而,这个属性没有出现gydF4y2BaHgydF4y2Ba初始化的单位矩阵。gydF4y2BaHgydF4y2Ba因此,初始化和维护相关联的行和列中有0gydF4y2BaγgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

这些变化使的麻绳,gydF4y2BaHgydF4y2Ba,不确定。因此gydF4y2BaHgydF4y2Ba被设置为0的行和列的吗gydF4y2BaγgydF4y2Ba,除了对角元素设置为一个小的正数(例如,gydF4y2Ba1 egydF4y2Ba-10)。这允许使用快速收敛正定QP方法中描述gydF4y2Ba二次规划解决方案gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

前面的修改已经实现gydF4y2BafgoalattaingydF4y2Ba并发现了更健壮的方法。然而,由于SQP方法的快速收敛性,价值函数的要求严格减少有时比的实现需要更多的功能评估SQP使用的价值功能gydF4y2Ba方程30gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

最小化最大目标gydF4y2Ba

fminimaxgydF4y2Ba使用一个目标达到情况的方法。需要的目标0,权重为1。用这个配方,目标达到情况的问题gydF4y2Ba

$\underset{我gydF4y2Ba}{最小值gydF4y2Ba} \underset{xgydF4y2Ba}{马克斯gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba \frac{{fgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba -gydF4y2Ba ggydF4y2Ba ogydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba {lgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}}{wgydF4y2Ba egydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ggydF4y2Ba hgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}})gydF4y2Ba =gydF4y2Ba \underset{我gydF4y2Ba}{最小值gydF4y2Ba} \underset{xgydF4y2Ba}{马克斯gydF4y2Ba} {fgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba$

这是极小极大问题。gydF4y2Ba

顺便说一句,你可能期望gydF4y2BafminimaxgydF4y2Ba将多目标函数转化为单目标。这个函数gydF4y2Ba

fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)= max (gydF4y2BaFgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba),…gydF4y2BaFgydF4y2Ba_jgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba))gydF4y2Ba

是一个单目标函数最小化。然而,它不是可微的,和优化工具箱目标需要光滑。因此极大极小问题是制定为一个平滑的目标实现的问题。gydF4y2Ba

引用gydF4y2Ba

[1]布雷顿,r·K。,S. W. Director, G. D. Hachtel, and L. Vidigal, “A New Algorithm for Statistical Circuit Design Based on Quasi-Newton Methods and Function Splitting,”IEEE电路和系统gydF4y2BaCAS-26卷,784 - 794页,1979年9月。gydF4y2Ba

[2]弗莱明,P.J.和美联社Pashkevich,gydF4y2Ba计算机辅助控制系统设计采用多目标优化方法gydF4y2Ba英国剑桥,控制1985会议,174 - 179页。gydF4y2Ba

[3]Gembicki F.W.,“Vector Optimization for Control with Performance and Parameter Sensitivity Indices,” Ph.D. Dissertation, Case Western Reserve Univ., Cleveland, OH, 1974.

[4]优雅,A.C.W.,“Computer-Aided Control System Design Using Optimization Techniques,” Ph.D. Thesis, University of Wales, Bangor, Gwynedd, UK, 1989.

[5]汉,……,“A Globally Convergent Method For Nonlinear Programming,”优化理论与应用》杂志上gydF4y2Bap . 297,卷。22日,1977年。gydF4y2Ba

[6]马德森,k和h Schjaer-Jacobsen,“坏的情况下公差的优化算法,gydF4y2BaIEEE反式。电路与系统gydF4y2BaCAS-26卷,1979年9月。gydF4y2Ba

[7]鲍威尔,M.J.D.,“A Fast Algorithm for Nonlinear Constrained Optimization Calculations,”数值分析gydF4y2Ba艾德,G.A.沃森gydF4y2Ba数学课堂笔记gydF4y2Ba卷。630年,施普林格1 - 1978。gydF4y2Ba

另请参阅gydF4y2Ba

fgoalattaingydF4y2Ba|gydF4y2BafminimaxgydF4y2Ba