找到渐近线、临界点和拐点

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这个例子描述了如何分析一个简单的函数来找到它的渐近线、最大值、最小值和拐点。

定义一个函数

本例中的函数为

$f （ x ）＝ \frac{3. x^{2} + 6 x - 1}{x^{2} + x - 3.} ．$

首先，创建函数。

信谊xNum = 3*x^2 + 6*x -1;Denom = x^2 + x - 3;F = num/denom

f =
                  
                    $\frac{3. x^{2} + 6 x - 1}{x^{2} + x - 3.}$

用，画出函数fplot．的fplot函数自动显示垂直渐近线。

fplot (f)

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个functionline类型的对象。

找到渐近线

求的水平渐近线 $f$ 数学上，取的极限 $f$ 作为 $x$ 趋于正无穷。

限制(f,正)

ans =
                   $3.$

极限为 $x$ 趋于负无穷也是3。这个结果表示直线 $y ＝ 3.$ 是水平渐近线吗 $f$ ．

求的垂线 $f$ ，设分母为0，求解。

根=解(denom)

根=
                  
                    $（ \begin{array}{c} - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \end{array} ）$

根表示垂直渐近线是直线

$x ＝ \frac{- 1 - \sqrt{13}}{2}$

而且

$x ＝ \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}$ ．

求最大值和最小值

你可以从图表中看到 $f$ 两点之间有局部最大值吗 $x ＝ - - - - - - 2$ 而且 $x ＝ 0$ ．它也有一个区间的局部最小值 $x ＝ - - - - - - 6$ 而且 $x ＝ - - - - - - 2$ ．要找到 $x$ -坐标的最大值和最小值，首先求导 $f$ ．

F1 = diff(f)

f1 =
                  
                    $\frac{6 x + 6}{x^{2} + x - 3.} - \frac{(2 x + 1) (3. x^{2} + 6 x - 1)}{{(x^{2} + x - 3.)}^{2}}$

要简化此表达式，请输入以下内容。

F1 =简化(F1)

f1 =
                  
                    $- \frac{3. x^{2} + 16 x + 17}{{(x^{2} + x - 3.)}^{2}}$

接下来，设导数为0并求解临界点。

Crit_pts = solve(f1)

crit_pts =
                  
                    $（ \begin{array}{c} - \frac{\sqrt{13}}{3.} - \frac{8}{3.} \\ \frac{\sqrt{13}}{3.} - \frac{8}{3.} \end{array} ）$

如图所示 $f$ 可见，该函数在

$x_{1} ＝ \frac{- 8 - \sqrt{13}}{3.}$

和一个局部最大值

$x_{1} ＝ \frac{- 8 + \sqrt{13}}{3.}$ ．

的最大值和最小值f．

fplot (f)在情节(双(crit_pts)双(潜艇(f, crit_pts)),“罗”)标题(f的最大值和最小值)文本(-4.8,5.5,局部最小值的)文本(2、4、当地最大的)举行从

图中包含一个轴对象。标题为Maximum和Minimum的axis对象包含4个类型为functionline, line, text的对象。

找到拐点

找到的拐点 $f$ ，设二阶导数为0，解出这个条件。

F2 = diff(f1);Inflec_pt = solve(f2，“MaxDegree”3);双(inflec_pt)

ans =3×1复杂-1.3682 - 0.8511i -1.3682 + 0.8511i

在这个例子中，只有第一个元素是实数，所以这是唯一的拐点。MATLAB®并不总是以相同的顺序返回方程的根。

而不是通过索引来选择实根inter_pt，通过确定哪些根的虚数部分为零来确定实根。

Idx = imag(double(inflec_pt)) == 0;Inflec_pt = Inflec_pt (idx)

inflec_pt =
                  
                    $- \frac{13}{9 {(\frac{169}{54} - \frac{\sqrt{2197}}{18})}^{1 / 3.}} - {(\frac{169}{54} - \frac{\sqrt{2197}}{18})}^{1 / 3.} - \frac{8}{3.}$

画出拐点。额外的参数(9 - 6)在fplot扩展了 $x$ 数值，这样可以更清楚地看到拐点，如图所示。

Fplot (f，[-9 6])保持不变在情节(双(inflec_pt)双(潜艇(f, inflec_pt)),“罗”)标题(f的拐点1)文本(7日,“拐点”)举行从

图中包含一个轴对象。标题为Inflection Point of f的axes对象包含3个类型为functionline, line, text的对象。