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关于界别及界别指数

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圆锥的行业

圆锥扇形最简单的形式是由两条线划分的二维区域，<年代pan class="inlineequation"> $y ＝一个 u$ 和<年代pan class="inlineequation"> $y ＝ b u$ ．

阴影区域的特征是不等式<年代pan class="inlineequation"> $（ y - 一个 u ）（ y - b u ） < 0$ ．更一般地说，任何这样的扇区都可以参数化为:

${（ \begin{array}{c} y \\ u \end{array} ）}^{T} 问（ \begin{array}{c} y \\ u \end{array} ） < 0 ，$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 是一个2x2对称不定矩阵(<年代pan class="inlineequation"> $问$ 具有一个正和一个负特征值)。我们称之为<年代pan class="inlineequation"> $问$ 的<年代pan class="emphasis">部门矩阵．这个概念可以推广到更高的维度。在n维空间中，一个圆锥扇形是一个集合:

$年代＝｛ z \in R^{N} ： z^{T} 问 z < 0 ｝，$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 又是一个对称不定矩阵。

部门界限

扇区边界是对系统行为的约束。增益约束和无源约束是扇形界的特殊情况。如果对于所有非零输入轨迹<年代pan class="inlineequation"> $u （ t ）$ ，输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ 线性系统的<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ 满足:

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）问 z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ，$

输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 具有矩阵的圆锥扇形<年代pan class="inlineequation"> $问$ ．选择不同的<年代pan class="inlineequation"> $问$ 矩阵对系统的响应施加不同的条件。例如，考虑轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝（ G u ）（ t ）$ 和以下值:

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）．$

这些值对应于扇区绑定:

$\int_{0}^{T} {（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ）}^{T} （ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

这个扇区界等价于无源性条件<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ ：

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > 0 ， \forall T > 0 ．$

换句话说，被动性是系统上的一个特定扇区，定义如下:

$H ＝（ \begin{array}{c} G \\ 我 \end{array} ）．$

频域条件

因为时域条件必须对所有条件都成立<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ，推导一个等效的频域界需要一点注意，而且并不总是可能的。让下面的:

$问＝ W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2}$

是不定矩阵的(任意)分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 分成正负两部分。当<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 为平方且相位最小(无不稳定零)，时域条件:

$\int_{0}^{T} （ H u ）（ t ）^{T} 问（ H u ）（ t ） d t < 0 ， \forall T > 0$

等于频域条件:

$H （ j ω ）^{H} 问 H （ j ω ） < 0 \forall ω \in R ．$

因此，检查行业不平等的真实频率就足够了。使用<年代pan class="inlineequation"> $问$ ，也相当于:

${为（ W_{1}^{T} H ）（ W_{2}^{T} H ）^{- 1} 为}_{\infty} < 1 ．$

请注意,<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H$ 是广场<年代pan class="inlineequation"> $问$ 是否有和输入通道一样多的负特征值<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ ．如果不满足这个条件，(通常)就不再足够只看实际频率。还要注意，如果<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 是方形的，那么它必须是扇区的最小相位。

这种频域特性是<一个href="//www.tatmou.com/it/it/help/control/ref/lti.sectorplot.html" class="a">sectorplot．具体地说,sectorplot绘制奇异值<年代pan class="inlineequation"> $（ W_{1}^{T} H （ j ω ））（ W_{2}^{T} H （ j ω ））^{- 1}$ 作为频率的函数。当且仅当最大奇异值小于1时扇区界满足。此外，图中还包含了有关扇区界限满足或违反的频带的有用信息，以及满足或违反扇区界限的程度。

例如，检查特定扇区的2输出2输入系统的扇区图。

rng (4<年代pan style="color:#A020F0">“旋风”）;H = rss(3、4、2);Q = [-5.12 2.16 -2.04 2.17 2.16 -1.22 -0.28 -1.11 -2.04 -0.28 -3.35 0.00 2.17 -1.11 0.00 - 0.18);sectorplot (H, Q)

图中包含一个轴。坐标轴包含两个line类型的对象。这个对象表示H。

的最大奇异值<年代pan class="inlineequation"> $（ W_{1}^{T} H （ j ω ））（ W_{2}^{T} H （ j ω ））^{- 1}$ 在0.5 rad/s以下超过1，在3 rad/s左右的窄带内。因此,H不满足界别所代表的问．

相对行业指数

我们可以将相对被动指数的概念推广到任意部门。让<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ 为LTI系统，设:

$问＝ W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2} ， W_{1}^{T} W_{2} ＝ 0$

是的正交分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 分解为它的正负两部分，这很容易从舒尔分解中得到<年代pan class="inlineequation"> $问$ ．的<年代pan class="emphasis">相对行业指数 $R$ ，或r指数，定义为最小<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样对于所有的输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ ：

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）（ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2} ） z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

因为增加<年代pan class="inlineequation"> $r$ 使<年代pan class="inlineequation"> $W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ 更负的，不等式通常被满足<年代pan class="inlineequation"> $r$ 足够大。然而，也有永远不能满足的情况，在这种情况下，R-index为<年代pan class="inlineequation"> $R ＝ + \infty$ ．显然，当且仅当的时候，原始扇区界限就满足了<年代pan class="inlineequation"> $R \leq 1$ ．

为了理解r指数的几何解释，考虑带矩阵的锥族<年代pan class="inlineequation"> $问（ r ）＝ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ ．在2D中，锥体的斜角<年代pan class="inlineequation"> $θ$ 有关<年代pan class="inlineequation"> $r$ 通过

$棕褐色（ θ ）＝ r \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为}$

(见下面的图)。更普遍的是,<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色（ θ ）$ 成正比<年代pan class="inlineequation"> $R$ ．因此，给定一个带矩阵的圆锥扇形<年代pan class="inlineequation"> $问$ ， r指数值<年代pan class="inlineequation"> $R < 1$ 意味着我们可以减少<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色（ θ ）$ (缩小圆锥体)<年代pan class="inlineequation"> $R$ 之前的一些输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 离开圆锥扇形。同样,一个值<年代pan class="inlineequation"> $R > 1$ 意味着我们必须增加<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色（ θ ）$ (把锥体加宽)一个因数<年代pan class="inlineequation"> $R$ 的所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ ．这显然使得r指数成为了一个相对的衡量<年代pan class="inlineequation"> $H$ 适合一个特定的圆锥扇形。

在图中,

$d_{1} \frac{| W_{1}^{T} z |}{为 W_{1} 为} ， d_{2} \frac{| W_{2}^{T} z |}{为 W_{2} 为} ， R ＝ \frac{| W_{1}^{T} z |}{| W_{2}^{T} z |} ，$

和

$棕褐色（ θ ）＝ \frac{d_{1}}{d_{2}} ＝ R \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为} ．$

当<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 是平方和最小相位，r指数在频域上也可以表征为最小<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样:

$H （ j ω ）^{H} （ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2} ） H （ j ω ） < 0 \forall ω \in R ．$

使用初等代数，可以得到:

$R ＝ \underset{ω}{马克斯} 为（ W_{1}^{T} H （ j ω ））（ W_{2}^{T} H （ j ω ））^{- 1} 为．$

换句话说，r指数是(稳定)传递函数的峰值增益<年代pan class="inlineequation"> $Φ （年代）：＝（ W_{1}^{T} H （年代））（ W_{2}^{T} H （年代））^{- 1}$ 的奇异值<年代pan class="inlineequation"> $Φ （ j w ）$ 可以看作是每个频率上的“主要”r指数。这也解释了为什么绘制r指数与频率之间的关系图看起来像一个奇异值图(参见<一个href="//www.tatmou.com/it/it/help/control/ref/lti.sectorplot.html" class="a">sectorplot）.相对行业指数与系统收益之间存在着完全的相似性。但是请注意，这个类比只适用于以下情况<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 是平方和最小相位。

定向行业指数

同样，我们可以将方向性无源指数的概念推广到任意部门。给定一个带有矩阵的圆锥扇形<年代pan class="inlineequation"> $问$ ，以及一个方向<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ ，指向性板块指数最大<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 这样对于所有的输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ ：

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）（问 + τ δ 问） z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

系统的方向无源性指数<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ 对应:

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）．$

行业指向性指数衡量的是我们需要在多大程度上改变行业的方向<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ 使其与输出轨迹紧密匹配<年代pan class="inlineequation"> $H$ ．当且仅当方向指数为正时，板块界限是令人满意的。

常见的行业

有许多方法可以指定扇区边界。接下来我们复习常见的表达式并给出相应的系统<年代pan class="inlineequation"> $H$ 和部门矩阵<年代pan class="inlineequation"> $问$ 用于的标准形式getSectorIndex和sectorplot：

$\int_{0}^{T} （ H u ）（ t ）^{T} 问（ H u ）（ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

为了简单起见，这些描述使用了以下符号:

$为 x 为_{T} ＝ \int_{0}^{T} 为 x （ t ）为^{2} d t ，$

和省略<年代pan class="inlineequation"> $\forall T > 0$ 要求。

被动

另请参阅
getSectorCrossover|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">getSectorIndex|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">sectorplot

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 关于被动性和被动性指数

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