建立Watts-Strogatz小世界图模型

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这个例子展示了如何构造和分析Watts-Strogatz小世界图。Watts-Strogatz模型是一种随机图，具有小世界网络特性，如聚类和短平均路径长度。

算法描述

创建Watts-Strogatz图有两个基本步骤:

创建一个环晶格平均度节点．每个节点都与它的节点相连两边最近的邻居。
对于图中的每条边，用概率重新连接目标节点 $β\美元$ ．重新布线的边不能是重复的或自循环的。

在第一步之后，图是一个完美的环晶格。所以,当 $\beta = 0$ ，没有边被重新布线，模型返回一个环格。相反，当 $\beta = 1$ ，将所有的边重新布线，并将环格转换为随机图。

该文件WattsStrogatz.m为无向图实现此图算法。输入参数为N,K,β根据上面的算法描述。

查看文件WattsStrogatz.m．

版权所有The MathWorks, Inc.函数h = WattsStrogatz(N,K，)% H = WattsStrogatz(N,K,beta)返回一个含有N的Watts-Strogatz模型图%节点，N*K条边，平均节点度2*K，重布线概率beta。％% beta = 0是一个环格，beta = 1是一个随机图。将每个节点连接到它的K个下一个和上一个邻居。这个结构%索引的环晶格。s = repelem((1:N)'，1,K);t = s + repmat(1:K,N,1);t = mod(t-1,N)+1;%以概率beta重新连接每条边的目标节点为=1:N switchEdge = rand(K, 1) < beta;newTargets = rand(N, 1);newTargets(source) = 0;newTargets(s(t==source)) = 0;newTargets(t(source， ~switchEdge)) = 0;[~， ind] = sort(newTargets，“下”）;t(source, switchEdge) = ind(1:nnz(switchEdge));结束H =图(s,t);结束

环晶格

构造一个具有500个节点的环晶格WattsStrogatz函数。当β为0时，函数返回一个节点都有次的环格2 k．

h = WattsStrogatz(500,25,0);情节(h,“NodeColor”,“k”,“布局”,“圆”）;标题($N = 500$节点，$K = 25$， $\beta = 0$的Watts-Strogatz图,.．.“翻译”,“乳胶”）

一些随机边

通过提升来增加图中的随机性β来0.15而且0.50．

h2 = WattsStrogatz(500,25,0.15);情节(h2,“NodeColor”,“k”,“EdgeAlpha”, 0.1);标题(“$N = 500$节点，$K = 25$， $\beta = 0.15$的Watts-Strogatz图”,.．.“翻译”,“乳胶”）

h3 = WattsStrogatz(500,25,0.50);情节(h3,“NodeColor”,“k”,“EdgeAlpha”, 0.1);标题(“$N = 500$节点，$K = 25$， $\beta = 0.50$的Watts-Strogatz图”,.．.“翻译”,“乳胶”）

随机图

通过递增生成一个完全随机的图β的最大值1．0．这重新连接了所有的边。

h4 = WattsStrogatz(500,25,1);情节(h4,“NodeColor”,“k”,“EdgeAlpha”, 0.1);标题($N = 500$节点，$K = 25$， $\beta = 1$的Watts-Strogatz图,.．.“翻译”,“乳胶”）

度分布

在不同的Watts-Strogatz图中，节点的度分布不同。当β为0，所有节点都有相同的度数，2 k，所以度分布就是一个以。为中心的狄拉克函数2 k, $\δ(x-2K)美元$ ．然而,随着β增加，度分布改变。

的非零值的度分布β．

直方图(学位(h2),“BinMethod”,“整数”,“FaceAlpha”, 0.9);持有在直方图(学位(h3),“BinMethod”,“整数”,“FaceAlpha”, 0.9);直方图(学位(h4),“BinMethod”,“整数”,“FaceAlpha”, 0.8);持有从标题(Watts-Strogatz模型图的节点度分布)包含(“节点度”) ylabel (“节点数量”)传说('\beta = 1.0','\beta = 0.50','\beta = 0.15',“位置”,“西北”）

中心的形成

Watts-Strogatz图具有较高的聚类系数，因此节点倾向于形成小团，或紧密连接的节点组成的小组。作为β的最大值1．0时，可以看到越来越多的枢纽节点，或者说相对程度较高的节点。枢纽是图中其他节点和派系之间的公共连接。中心的存在允许团的形成，同时保持较短的平均路径长度。

计算每个值的平均路径长度和枢纽节点数β．在本例中，枢纽节点是度数大于或等于55的节点。这些节点的度都比原来的环晶格增加了10%或更多。

N = 55;D = [mean(mean(距离(h))))， nnz(度(h)>=n);.．.平均(平均(距离(h2))), nnz(学位(h2) > = n);.．.平均(平均(距离(h3))), nnz(学位(h3) > = n);平均(平均(距离(h4))), nnz(学位(h4) > = n)];T = table([0 0.15 0.50 1]'， d(:，1)， d(:，2)，.．.“VariableNames”, {“β”,“AvgPathLength”,“NumberOfHubs”})

T = 4x3表Beta AvgPathLength NumberOfHubs ____ _____________ ____________ 0 5.48 0 0.15 2.0715 20 0.5 1.9101 85 1 1.9008 92

作为β增加时，图中的平均路径长度迅速下降到其极限值。这是由于高度连接的枢纽节点的形成，它们变得越来越多β增加。

画出 $\beta = 0.15$ Watts-Strogatz模型图，使每个节点的大小和颜色与其度成正比。这是一种可视化集线器形成的有效方法。

colormaphsvDeg =度(h2);nSizes = 2*√(deg-min(deg)+0.2);nColors = deg;情节(h2,“MarkerSize”nSizes,“NodeCData”nColors,“EdgeAlpha”, 0.1)标题(“$N = 500$节点，$K = 25$， $\beta = 0.15$的Watts-Strogatz图”,.．.“翻译”,“乳胶”) colorbar

另请参阅

有向图|图