二次规划问题转化为二阶锥项目

打开生活的脚本

这个例子展示了如何将一个半正定二次规划问题,使用的二阶锥形式coneprog解算器。一个二次规划问题的形式

$\underset{x}{最小值} \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$ ,

可能受到范围和线性约束。coneprog解决问题的形式

$\underset{x}{最小值} f_{年代 c}^{T} x$

这样

$为 {一个}_{年代 c} x - - - - - - b_{年代 c} 为 \leq d_{年代 c}^{T} x - - - - - - γ$ ,

可能受到范围和线性约束。

将二次程序coneprog形式,首先计算矩阵的平方根矩阵 $H$ 。假设 $H$ 是一个对称半正定矩阵,命令吗

一个= sqrtm (H);

返回一个半正定矩阵一个这样“* = * = H。因此,

$x^{T} H x = x^{T} {一个}^{T} 一个 x = (一个 x)^{T} 一个 x = 为一个 x 为^{2}$ 。

修改的形式二次程序如下:

$\underset{x}{最小值} \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x = - - - - - - \frac{1}{2} + \underset{x, t}{最小值} ((t + 1 / 2) + f^{T} x]$

在哪里 $t$ 满足约束条件

$t + 1 / 2 \geq \frac{1}{2} x^{T} H x$ 。

扩展控制变量 $x$ 来 $u$ ,其中包括 $t$ 作为最后一个元素:

$u = (\begin{array}{c} x \\ t \end{array}]$ 。

扩展二阶锥约束矩阵和向量如下:

${一个}_{sc} = (\begin{array}{c} 一个 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

$b_{sc} = (\begin{array}{c} 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}]$

$d_{sc} = (\begin{array}{c} 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

$γ = - - - - - - 1$ 。

扩展系数向量 $f$ :

$f_{sc} = (\begin{array}{c} f \\ 1 \end{array}]$ 。

的新变量,成为二次规划问题

$\underset{u}{最小值} \frac{1}{2} u^{T} {一个}_{年代 c}^{2} u + f_{年代 c}^{T} u = - - - - - - 1 / 2 + \underset{u}{最小值} (1 / 2 + f_{年代 c}^{T} u]$

在哪里

$u (e n d) + 1 / 2 \geq \frac{1}{2} u^{T} {一个}_{年代 c} u$ 。

这个二次约束成为锥约束通过以下计算,它使用前面定义的 ${一个}_{年代 c}$ , $d_{年代 c}$ , $γ$ :

$\frac{1}{2} 为 H x 为^{2} = \frac{1}{2} u^{T} {一个}_{年代 c}^{2} u \leq t + \frac{1}{2}$

$为 H x 为^{2} \leq 2 t + 1$

$为 H x 为^{2} + t^{2} \leq t^{2} + 2 t + 1 = (t + 1)^{2}$

$\sqrt{为 H x 为^{2} + t^{2}} \leq | t + 1 | = \pm (t + 1)$

但 $为 H x 为^{2} + t^{2} = 为 {一个}_{年代 c} u 为^{2}$ 。所以,回忆 $γ = - - - - - - 1$ 和的定义 $d_{年代 c}$ ,不平等变得

$为 {一个}_{年代 c} u 为 \leq \pm (t - - - - - - γ)$

$为 {一个}_{年代 c} u 为 \leq \pm (d_{年代 c}^{T} u - - - - - - γ)$ 。

二次程序对应的锥一样的解决方案项目。唯一的区别是添加项 $- - - - - - 1 / 2$ 在锥项目。

数值例子

的quadprog文档给了这个例子。

H = [1 1 1 1 2 2 1, 2, 4];f = [7, -12; -15);磅= 0 (3,1);乌兰巴托= 1(大小(磅));Aineq = (1 1 1);bineq = 3;[xqp哲学基本问题]= quadprog (H f Aineq bineq,[],[],磅,乌兰巴托)

最低发现满足约束。优化完成,因为目标函数中引入可行的方向,在最优值的宽容,和约束满足约束的值公差内。

xqp =3×11 1 1

哲学基本问题= -32.5000

指的是描述在这个例子中,指定二阶锥约束变量,然后调用coneprog函数。

Asc = sqrtm (H);Asc(+ 1)结束,结束(+ 1)= 1;d =[0(大小(f (:))); 1];γ= 1;b = 0(大小(d));qp = secondordercone (Asc, b, d,γ);Aq = Aineq;Aq (:, (+ 1) = 0;结束磅(+ 1)=无穷;乌兰巴托(结束+ 1)=正; [u,fval,eflag] = coneprog([f(:);1],qp,Aq,bineq,[],[],lb,ub)

找到最优解。

u =4×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000

fval = -33.0000

eflag = 1

前三个元素的锥的解决方案u等于二次规划的解决方案的元素xqp显示精度:

disp ([xqp u (1: (end-1))))

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

二次函数返回值哲学基本问题是返回的锥价值- 1/2时 $2 t + 1$ 是正的,还是+ 1/2时 $2 t + 1$ 是负的。

disp ([fqp-sign u (2 * () + 1) * 1/2 fval])

-33.0000 - -33.0000

另请参阅

quadprog|coneprog|secondordercone

二次规划问题转化为二阶锥项目

数值例子

另请参阅

相关的话题