违约概率使用默顿模型对信用风险结构- MATLAB和Simulink MathWorks意大利金宝app

违约概率通过默顿模型对信用风险结构

1974年,罗伯特·默顿提出了一个模型来评估一个公司的信用风险结构建模公司的股本作为其资产的看涨期权。默顿模型使用Black-Scholes-Merton期权定价方法和结构,因为它提供了一个违约风险之间的关系和公司的资产(资本)结构。

一个公司资产负债表上记录书小视了公司股票的价值E,其总资产一个,它的总负债l。这些值之间的关系是定义的方程

$一个 = E + l$

这些书值E,一个,l都是可以观察到的,因为他们是记录在一个公司的资产负债表。然而,这本书值是很少被报告。另外,只有股权的市场价值是可观察到的,是由公司的股票市场价格乘以流通股的数量。公司的市场价值的资产和负债总额是不可见的。

默顿模型涉及股权的市场价值,资产和负债在期权定价的框架。默顿模型假定一个责任l与成熟T,通常一年或更少。在时间T的股东,公司的价值等于不同一个- - - - - -l当资产价值一个大于负债l。然而,如果负债l超过资产价值一个,那么股东什么也得不到。股票的价值E_T在时间T相关资产和负债的价值由以下公式:

$E_{T} = 马克斯 ({一个}_{T} - l, 0)$

在实践中,公司有多个到期的负债,所以对于一个选定的成熟度T阈值,一个责任l选择是基于整个公司的负债结构。阈值也称为违约责任。一年,一个典型的时间范围的责任一般阈值设置为一个值之间的价值短期负债和总负债的价值。

假设资产回报的对数正态分布,可以使用Black-Scholes-Merton方程与股本的可观察到的市场价值E和不可见的市场价值的资产一个之前,在任何时间成熟T:

$E = 一个 N (d_{1}) - l e^{- r T} N (d_{2})$

在这个方程,r是无风险利率,N累计标准正态分布,d₁和d₂是由

$d_{1} = \frac{\ln (\frac{一个}{l}) + (r + 0.5 σ_{一个}^{2}) T}{σ_{一个} \sqrt{T}}$

$d_{2} = d_{1} - σ_{一个} \sqrt{T}$

您可以使用两种方法之一解这个方程:

的mertonmodel方法使用单点校准,需要股权价值,责任,和股票波动率(σ_E)。
这种方法解决了(一个,σ_一个使用一个2×2非线性方程组)。第一个方程是上述期权定价公式。第二个方程涉及资产难以察觉的波动率σ_一个给定的股票波动率σ_E:

$σ_{E} = \frac{一个}{E} N (d_{1}) σ_{一个}$
的mertonByTimeSeries方法需要时间序列为股票和所有其他模型参数。
如果股票时间序列n数据点,这种方法校准的时间序列n资产价值一个₁、…一个_n解决以下方程组:

$\begin{array}{l} E_{1} = {一个}_{1} N (d_{1}) - l_{1} e^{- r_{1} T_{1}} N (d_{2}) \\ … \\ E_{n} = {一个}_{n} N (d_{1}) - l_{n} e^{- r_{n} T_{n}} N (d_{2}) \end{array}$

函数直接计算资产的波动率σ_一个从时间序列一个₁、…一个_n的年度标准差日志的回报。这个值是一个波动值捕获资产的波动性在时间期间跨越了时间序列。
经过计算的值一个和σ_一个,函数计算距离违约(DD)计算标准差之间的数量预计到期资产价值T和责任阈值:

$D D = \frac{日志一个 + (μ_{一个} - σ_{一个}^{2} / 2) T - 日志 (l)}{σ_{一个} \sqrt{T}}$

的漂移参数μ_一个是资产的预期收益,等于无风险利率,或任何其他值基于预期的公司。
的违约概率(PD)被定义为资产价值低于负债的概率阈值的时间范围T:

$P D = 1 - N (D D)$

另请参阅

mertonmodel|mertonByTimeSeries

违约概率通过默顿模型对信用风险结构

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