主要内容

建模一个傅科摆

开放模式

这个例子展示了如何建模一个傅科摆。傅科摆是法国物理学家福柯里昂。这是为了证明地球绕着它的轴旋转。傅科摆振动平面的旋转在一天由于地球的自转。振荡完成整个圆的飞机在一个时间间隔,这取决于地理纬度。

福柯的最著名的钟摆是安装在巴黎先贤祠。这是一个28公斤的金属球体附加到一个67米长的电线。这个例子模拟一个67米长的钟摆在巴黎的地理纬度。

金宝app仿真软件®模型

最简单的方法解决傅科摆的问题在仿真软件®是建立一个模型,解决了耦合系统的微分方程。金宝app这个模型如图1所示。下面的方程描述给出了傅科摆。有关的物理模型和这些方程的推导过程,明白了分析和物理。

$ $ & # xA; \ ddot {x} = 2 \ω\罪{\λ}\点{y} - \压裂{g} {1} x # xA; $ $

$ $ & # xA; \ ddot {y} = - 2 \ω\罪{\λ}\点{x} - \压裂{g} {1} y # xA; $ $

$ $ x, y = \ mbox{摆鲍勃坐标所看到的地球上的观察者}$ $

$ $ \ω= \ mbox{地球的角度对其轴转速}$ $ (rad /秒)

$ $ g = \ mbox{重力加速度}(m /秒^ 2)$ $

$ $ L = \ mbox{摆长度字符串}(m) $ $

$ $ \λ= \ mbox{地理纬度}(rad) $ $

打开模型

类型sldemo_foucault在MATLAB®命令窗口打开这个模型。该模型仿真数据日志到变量sldemo_foucault_output。记录信号有一个蓝色的指示器。有关更多信息,请参见马克信号记录。

图1:傅科摆模型

初始条件

这个模型加载的常量和初始条件sldemo_foucault_data.m文件。这个文件的内容如表1所示。你可以直接修改仿真参数在MATLAB工作区。摆的初始振幅必须小而摆的长度,因为只有小振动微分方程是有效的。

表1:初始条件

g = 9.83;%重力加速度(m /秒^ 2)L = 67;%摆长度(m) initial_x = L / 100;%初始x坐标(m) initial_y = 0;%初始y坐标(m) initial_xdot = 0;%初始x速度(米/秒)initial_ydot = 0;%初始y速度(米/秒)ω= 2 *π/ 86400;%地球的旋转角速度对其轴(rad /秒)λ= 49/180 *π;%的纬度(rad)

运行仿真

按下“播放”按钮在工具栏窗口运行仿真模型。仿真步骤硬解算器将使用一个变量,ode23t。将模拟一个傅科摆3600秒(你可以改变仿真时间)。模型使用一个默认的相对宽容RelTol = 1 e-6。

图2:傅科摆仿真结果(模拟时间为3600秒)

结果

上面的仿真结果如图2所示。仿真计算钟摆x和y坐标,x和y速度分量的钟摆。

钟摆摆动平面完成360度扫描超过24小时。地理纬度的扫描周期是一个函数λ(见推导分析和物理)。

图3:动画块显示钟摆摆动平面旋转多少一个小时

运行仿真后,双击动画块将结果。

  • 注:“动画效果”部分的示例需要信号处理工具箱™。双击动画块会导致一个错误如果没有安装。所有其他部分的示例将正常工作,而信号处理工具箱。

的sldemo_foucault_animate.m文件块的位置摆鲍勃在不同的时间点。你可以清楚地看到钟摆摆动平面旋转。

  • 注意:如果您正在运行的模拟大相对宽容,结果将是数值不稳定在很长一段时间。确保您使用的是硬变步求解器进行求解。阅读更多关于僵硬的数值不稳定和解决性能问题的“探索解决变步使用的模式”例子。

关闭模式

关闭模式。生成的数据。

分析和物理

本节分析了傅科摆并描述了其背后的物理学。钟摆可以建模为一个质点悬线的长度l。钟摆位于地理纬度λ。方便使用的坐标系如图4所示:惯性坐标系I(相对于地球的中心),和惯性坐标系N(相对于一个观察者在地球表面)。惯性框架加速旋转的结果。

图4:的惯性和惯性框架问题

点O惯性坐标系的原点n是地球表面上的点在悬挂点的钟摆。选择非惯性坐标系,z轴点远离地球的中心和垂直于地球表面。轴点南部和轴点西方。

在介绍中提到的,傅科摆振动平面的旋转。振荡平面完成一个完整的旋转刚学步的小孩由以下公式给出,Tday是一天的时间(即时间地球围绕它的轴一次)。

$ $ T_{腐烂}=识别T_{天}\ cdot \罪\识别λ$ $

sin因素需要进一步讨论。常常错误地认为,钟摆的摆动平面固定在惯性坐标系相对于地球的中心。这仅仅是真正的在北极和南极。为了消除这种混淆,思考点(见图4),摆的暂停。在惯性坐标系,S点转一圈。钟摆鲍勃是悬浮在一线的长度。为简单起见忽略空气摩擦。在惯性坐标系,只有两种力量作用于鲍勃-线张力T和重力成品。

向量r给的位置摆鲍勃,B(参见图4)。牛顿第二定律指出,力量作用于身体的总和等于质量乘以加速度的身体。

$ $ m \ ddot {\ overrightarrow {r}} = \ overrightarrow {T} + \ overrightarrow {F_g} $ $

在这个证明,点表示时间衍生品,箭头表示向量,大写表示单一向量(i, j, k在x, y,和z轴)。一个点以上向量箭头表示的时间导数向量。箭头上方的点表示向量的时间导数。见下面的加速度和径向加速度之间的区别。

总加速度:

$ $ & # xA; \ ddot {\ overrightarrow {r}} = \压裂{d ^ 2 \ overrightarrow {r}} {d t ^ 2} = & # xA; \压裂{d ^ 2} {d t ^ 2} \离开(x \ mathbf{\帽子{我}}+ y \ mathbf{\帽子{j}} + z \ mathbf{\帽子{k}} \右)& # xA; $ $

径向加速度:

$ $ & # xA; \ overrightarrow {\ ddot {r}} = \ overrightarrow{\离开(\压裂{d r ^ 2} {dt ^ 2} \右)}= & # xA; \ ddot {x} \ mathbf{\帽子{我}}+ & # xA; \ ddot {y} \ mathbf{\帽子{j}} + & # xA; \ ddot {z} \ mathbf{\帽子{k}} & # xA; $ $

重力加速度指向地球中心(- z)。

$ $ g = 9.83米/秒^ 2 $ $

$ $ \ overrightarrow {g} = - g \ mathbf{\帽子{k}} $ $

$ $ & # xA; m \ ddot {\ overrightarrow {r}} = & # xA; \ overrightarrow {T}毫克\ mathbf{\帽子{k}} & # xA; $ $

分解加速条件:

$ $ & # xA; \ overrightarrow {r} = & # xA; r_x \ mathbf{\帽子{我}}+ & # xA; r_y \ mathbf{\帽子{j}} + & # xA; r_z \ mathbf{\帽子{k}} & # xA; $ $

$ $ & # xA; \点{\ overrightarrow {r}} = & # xA; \离开(& # xA; \点{r}值\ mathbf{\帽子{我}}+ & # xA; \点{r} _y吗\ mathbf{\帽子{j}} + & # xA; \点{r} _z \ mathbf{\帽子{k}} & # xA; \右)+ & # xA; r_x \点{\ mathbf{\帽子{我}}}+ & # xA; r_y \点{\ mathbf{\帽子{j}}} + & # xA; r_z \点{\ mathbf{\帽子{k}}} & # xA; $ $

单位向量的时间衍生品出现,因为惯性参考系N是在太空中旋转。这意味着单一向量i, j, k在太空中旋转。下面给出时间衍生品。ω是地球的旋转角速度绕着它的轴。标量ω是角速度的值。角速度矢量ω是向量。它的方向是由右手定则来确定。

$ $ & # xA;{\ \点mathbf{\帽子{我}}}= \ overrightarrow{ω\}\ * \ mathbf{\帽子{我}} $$

$ $ & # xA; \点{\ mathbf{\帽子{j}}} = \ overrightarrow{ω\}\ * \ mathbf{\帽子{j}} & # xA; $ $

$ $ & # xA; \点{\ mathbf{\帽子{k}}} = \ overrightarrow{ω\}\ * \ mathbf{\帽子{k}} & # xA; $ $

重写的时间导数向量r相对于ω。

$ $ & # xA; \点{\ overrightarrow {r}} = & # xA; \离开(& # xA; \点{r}值\ mathbf{\帽子{我}}+ & # xA; \点{r} _y吗\ mathbf{\帽子{j}} + & # xA; \点{r} _z \ mathbf{\帽子{k}} & # xA; \右)+ & # xA; \ overrightarrow{ω\}\ * \ overrightarrow {r} = & # xA; \ overrightarrow{\点{r}} + & # xA; \ overrightarrow{ω\}\ * \ overrightarrow {r} & # xA; $ $

同样,表达的第二次导数向量r。

$ $ & # xA; \ ddot {\ overrightarrow {r}} = & # xA; \ overrightarrow {\ ddot {r}} + & # xA; 2 \ overrightarrow{ω\}\ * \ overrightarrow{\点{r}} + & # xA; \ overrightarrow{ω\}\ * # xA; \离开(\ overrightarrow{ω\}\ * \ overrightarrow {r} \右)& # xA; $ $

$ $ \ overrightarrow{\点{r}} = \ mbox{加速度在惯性坐标系N (x, y, z组件)}$ $

$ $ 2 \ overrightarrow{ω\}\ * \ overrightarrow{\点{r}} = \ mbox{科里奥利加速度}$ $

$ $ \ overrightarrow{ω\}\ * # xA; \离开(\ overrightarrow{ω\}\ * \ overrightarrow {r} \右)& # xA; = \ mbox{附加词由于惯性旋转坐标系N} & # xA; $ $

为了简化方程,假设ω为地球很小。这让我们忽略上面的方程的第三个任期。事实上,第二项(已远小于第一项)是四个数量级大于第三项。这减少了方程如下形式:

$ $ & # xA; \ ddot {\ overrightarrow {r}} \ simeq& # xA; \ overrightarrow {\ ddot {r}} + & # xA; 2 \ overrightarrow{ω\}\ * \ overrightarrow{\点{r}} & # xA; $ $

牛顿第二定律可以编写和分解为x, y,和z组件如下:

$ $ & # xA; m \ overrightarrow {\ ddot {r}} = & # xA; \ overrightarrow {T}毫克\ mathbf{\帽子{k}} & # xA; 2 m \ overrightarrow{ω\}\ * \ overrightarrow{\点{r}} & # xA; $ $

$ $ & # xA; m \ ddot {x} = T_x + 2 mω\ \点{y} \罪{\λ}& # xA; $ $

$ $ & # xA; m \ ddot {y} = T_y - 2 mω\ \离开(\点{x} \罪{\λ}+ \点{z} \因为{\λ}\右)& # xA; $ $

$ $ & # xA; m \ ddot {z} = T_z毫克+ 2 mω\ \点{y} \因为{\λ}& # xA; $ $

角振荡幅度很小。因此,我们可以忽略垂直速度和垂直加速度(z-dot和z-double-dot)。弦张力组件可以使用小角度近似表达,这也大大简化了问题,使其二维(见下文)。

$ $ T_z = mg - 2 m \ω\导{y} \因为{\λ}\ simeq毫克$ $

$ $ T_x = - t \压裂{x} {L} $ $

$ $ T_y = - t \压裂{y} {L} $ $

$ $ T_z = T \压裂{L-z} {1} \ simeq T $ $

特性微分方程

最后的物理问题可以耦合方程组所描述的下面。x和y坐标指定的位置摆鲍勃所看到的地球上的观察者。

$ $ & # xA;ω\ ddot {x} - 2 \ \罪{\λ}\点{y} + \压裂{g} {1} x = 0 & # xA; $ $

$ $ & # xA;ω\ ddot {y} + 2 \ \罪{\λ}\点{x} + \压裂{g} {1} y = 0 & # xA; $ $

分析解决方案(近似)

下面是一个傅科摆解析解的问题。不幸的是,这并不确切。如果你试图解析解代入微分方程,uncanceledω的平方的顺序将保持。然而,由于ω是很小的,可以忽略uncanceled条款实际用途。

$ $ \η= x + i \ cdot y \ mbox{(复数)}$ $

$ $ \ ddot{\埃塔}+(2我罪\ω\{\λ})\点{\埃塔}+ \压裂{g}{1} \η= 0 $ $

$ $ \ \时间离开(c₁e ^{我大概{g / L} \ t} + c₂e ^ {- i \ sqrt {g / L} t} \右)& # xA; e ^{我罪\ωt \{\λ}}$ $

$ $ c₁, c₂\ mbox{是复杂的集成# xA;常量}$ $

实际微分方程系统是不对称的

在推导,条款涉及ω的平方都被忽略了。这导致了xy对称性在微分方程。如果考虑ω的平方项,微分方程系统变得不对称(见下文)。

$ $ & # xA; \ ddot {x} - 2ω\ \罪{\λ}\点{y} +(\压裂{g}{1} -罪\ω^ 2 \ ^ 2{\λ})x = 0 & # xA; $ $

$ $ & # xA; \ ddot {y} + 2 \ω\罪{\λ}\点{x} +(\压裂{g}{1} - \ω^ 2)y = 0 & # xA; $ $

你可以很容易地修改当前傅科摆模型考虑到不对称微分方程。只需编辑相应的增益模块包含g / L和添加必要的表达式。这种变化将引入一个很小的整体校正的数值结果。