探索单期资产套利

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这个例子探讨了单时期、两状态资产组合的基本套利概念。投资组合包括债券、股票多头和股票看涨期权。

它使用这些符号数学工具箱™函数:

方程组把线性方程组转换成矩阵。
符号解法解这个方程组。
MATLAB®标准函数的符号等价，如诊断接头．

这个例子象征性地推导出单时期、两种状态情景的风险中性概率和看涨价格。

定义投资组合的参数

创建符号变量r表示该期间的无风险利率。假设r是一个正值。

信谊r积极的

定义单个周期开始的参数，时间= 0．在这里S0是股票价格，还是C0是带罢工的看涨期权价格，K．

信谊S0C0K积极的

现在，定义一个周期结束的参数，时间= 1．将这两种可能的状态标记为U(这段时期的股价上涨)和D(这段时期的股价下跌)。因此,苏和SD股票价格是U州和D州，以及铜是状态U的调用值。请注意 $年代 D < ＝ K < ＝年代 U$ ．

信谊苏SD铜积极的

债券价格为时间= 0是1。请注意，此示例忽略了摩擦成本。

收取价格:时间= 0变成一个列向量。

价格=[1 S0 C0]'

价格=
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 \\ {年代}_{0} \\ C_{0} \end{array} ）$

收集投资组合的收益时间= 1到回报矩阵。的列回报对应于状态D和u的收益。这些行对应于债券，股票和看涨期权的收益。债券的收益是1+r.状态D中的调用的回报为零，因为它未被执行（因为 $年代 D < ＝ K$ )．

收益= [(1 + r)， (1 + r);SD,苏;0、铜)

收益=
                 
                   $（ \begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & 苏 \\ 0 & 铜 \end{array} ）$

铜是值得的苏- K将这个值代入回报．

收益= subs(收益，CU, SU - K)

收益=
                 
                   $（ \begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & 苏 \\ 0 & 苏 - K \end{array} ）$

求风险中性概率

定义到达U和D状态的概率。

信谊聚氨基甲酸酯pD真实的

根据无套利,命令= = 0必须始终保持正确的积极聚氨基甲酸酯和pD．

命令=回报* [pD;pU)——价格

等式=
                 
                   $（ \begin{array}{c} pD (r + 1) + 聚氨基甲酸酯 (r + 1) - 1 \\ SD pD - {年代}_{0} + 苏 聚氨基甲酸酯 \\ - C_{0} - 聚氨基甲酸酯 (K - 苏) \end{array} ）$

转换使用的方程风险中性概率。

信谊pDrnpUrn真实的；eqns=subs（eqns[pD；pU]，[pDrn；pUrn]/（1+r））

等式=
                 
                   $（ \begin{array}{c} pDrn + pUrn - 1 \\ \frac{SD pDrn}{r + 1} - {年代}_{0} + \frac{苏 pUrn}{r + 1} \\ - C_{0} - \frac{pUrn (K - 苏)}{r + 1} \end{array} ）$

未知变量为pDrn，pUrn和C0.使用这些未知变量将线性系统转换为矩阵形式。

[A，b]=等式矩阵（等式[pDrn，pUrn，C0]'）

一个=
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ \frac{SD}{r + 1} & \frac{苏}{r + 1} & 0 \\ 0 & - \frac{K - 苏}{r + 1} & - 1 \end{array} ）$

b=
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 \\ {年代}_{0} \\ 0 \end{array} ）$

使用符号解法，求风险中性概率和赎回价格的解。

x=linsolve（A，b）

x =
                 
                   $（ \begin{array}{c} \frac{{年代}_{0} - 苏 + {年代}_{0} r}{SD - 苏} \\ - \frac{{年代}_{0} - SD + {年代}_{0} r}{SD - 苏} \\ \frac{(K - 苏) ({年代}_{0} - SD + {年代}_{0} r)}{(SD - 苏) (r + 1)} \end{array} ）$

验证解决方案

验证在风险中性概率下，x（1:2），即投资组合的预期回报率，E_return等于无风险利率，r．

E_return = diag(prices)\(payoff - [prices,prices])*x(1:2);E_return = subs(E_return, C0, x(3)))

E_return =
                 
                   $（ \begin{array}{c} r \\ r \\ r \end{array} ）$

无套利违规测试

作为一个测试无套利违例的例子，使用以下值:r = 5%，S0 = 100和K = 100．为苏< 105，违反了无套利条件的原因是pDrn=xSol（1）是否定的(SU>=SD)。此外，对于除xSol (3)，存在套利。

xSol =简化(潜艇(x, [r, S0, K], [0.05,100,100]))

xSol=
                 
                   $（ \begin{array}{c} - \frac{苏 - 105}{SD - 苏} \\ \frac{SD - 105}{SD - 苏} \\ \frac{20. (SD - 105) (苏 - 100)}{21 (SD - 苏)} \end{array} ）$

将买入价格绘制为曲面

绘制出通话价格，C0 = xSol (3),因为50 <= sd <= 100和105<=SU<=150．请注意，例如，当标的股票价格的“方差”更高时，看涨期权就更有价值，Sd = 50, su = 150．

fsurf（xSol（3），[50100105150]）xlabelSDylabel苏标题赎回价格的

图中包含一个轴对象。标题为Call Price的axes对象包含一个函数面类型的对象。

参考

高级衍生品，定价和风险管理:理论，工具和编程应用阿尔巴内斯，C.，坎波利埃蒂，G。

探索单期资产套利

定义投资组合的参数

求风险中性概率

验证解决方案

无套利违规测试

将买入价格绘制为曲面

参考

符号数学工具箱文档

金宝app

数学建模与符号数学工具箱