集成

这个例子展示了如何使用符号数学工具箱™计算定积分。

定积分

表明,定积分 $\int_{一个}^{b} f (x) d x$ 为 $f (x) = 年代我 n (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 是0。

信谊xint (sin (x),π/ 2,3 *π/ 2)

ans =
                   $0$

定积分在最大值和最小值

最大化 $F (一个) = \int_{- - - - - - 一个}^{一个} 罪 (一个 x) 罪 (x / 一个) d x$ 为 $一个 \geq 0$ 首先,定义符号变量和假设 $一个 \geq 0$ :

信谊一个x假设(> = 0);

然后,定义函数最大化:

F = int (sin (x *) * sin (x / a), x - a, a)

F =
                  
                    ${\begin{array}{cl} 1 - - - - - - \frac{罪 (2)}{2} & 如果 一个 = 1 \\ \frac{2 一个 (罪 ({一个}^{2}) 因为 (1) - - - - - - {一个}^{2} 因为 ({一个}^{2}) 罪 (1))}{{一个}^{4} - - - - - - 1} & 如果 一个 \neq 1 \end{array}$

注意这里的特殊情况 $一个 = 1$ 。为了简化计算,使用assumeAlso忽视这种可能性(以及后来的检查 $一个 = 1$ 不是最大):

assumeAlso (~ = 1);F = int (sin (x *) * sin (x / a), x - a, a)

F =
                  
                    $\frac{2 一个 (罪 ({一个}^{2}) 因为 (1) - - - - - - {一个}^{2} 因为 ({一个}^{2}) 罪 (1))}{{一个}^{4} - - - - - - 1}$

创建一个块 $F$ 检查它的形状:

fplot (F, 10 [0])

图包含一个坐标轴对象。坐标轴functionline类型的对象包含一个对象。

使用diff找到的导数 $F$ 关于 $一个$ :

Fa = diff (F)

Fa =
                  
                    $\begin{array}{l} \frac{2 σ_{1}}{{一个}^{4} - - - - - - 1} + \frac{2 一个 (2 一个 因为 ({一个}^{2}) 因为 (1) - - - - - - 2 一个 因为 ({一个}^{2}) 罪 (1) + 2 {一个}^{3} 罪 ({一个}^{2}) 罪 (1))}{{一个}^{4} - - - - - - 1} - - - - - - \frac{8 {一个}^{4} σ_{1}}{{({一个}^{4} - - - - - - 1)}^{2}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} = 罪 ({一个}^{2}) 因为 (1) - - - - - - {一个}^{2} 因为 ({一个}^{2}) 罪 (1) \end{array}$

的零 $F 一个$ 的局部极值吗 $F$ :

持有在fplot (Fa, 10[0])网格在

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含2 functionline类型的对象。

最大的是1和2之间。使用vpasolve找到一个近似为零的 $F 一个$ 在这个时间间隔:

a_max = vpasolve (Fa, [1,2])

a_max =
                   $1.5782881585233198075558845180583$

使用潜艇得到的最大价值的积分:

a_max F_max =潜艇(F)

F_max =
                   $0.36730152527504169588661811770092 因为 (1) + 1.2020566879911789986062956284113 罪 (1)$

结果仍然包含精确的数字 $罪 (1)$ 和 $因为 (1)$ 。使用vpa取代这些数值近似:

vpa (F_max)

ans =
                   $1.2099496860938456039155811226054$

检查排除 $一个 = 1$ 不会导致一个更大的值:

vpa (int (sin (x) * sin (x), x, 1, 1))

ans =
                   $0.54535128658715915230199006704413$

多个集成

在高维数值积分方面具有特殊的功能:

integral2 (@ (x, y) x ^ 2 y ^ 2。0, - 1, 0, 1)

ans = 4.0127 e-19

没有这样的特殊功能高维象征性的集成。使用嵌套的一维积分:

信谊xyint (int (x ^ 2 y ^ 2, y, 0, 1), x, 0, 1)

ans =
                   $0$

线积分

定义一个向量场F在3 d空间:

信谊xyzF (x, y, z) = [x ^ 2 * y * z、x * y, y 2 * * z];

接下来,定义一个曲线:

信谊t用户体验(t) =罪(t);uy (t) = t ^ 2 t;是乌斯(t) = t;

的线积分F沿着曲线u被定义为 $\int f \cdot d u = \int f (u x (t), u y (t), u z (t)) \cdot \frac{d u}{d t} d t$ ,那里的 $\cdot$ 在眼睛水平代表一个标量的产品。

使用这个定义计算线积分 $t$ 从 $(0, 1]$

uy F_int = int (F(用户体验,是乌斯)* diff((用户体验;uy;是乌斯),t), t, 0, 1)

F_int =
                  
                    $\frac{19 因为 (1)}{4} - - - - - - \frac{因为 (3)}{108年} - - - - - - 12 罪 (1) + \frac{罪 (3)}{27} + \frac{395年}{54}$

得到这个结果的数值近似:

vpa (F_int)

ans =
                   $- - - - - - 0.20200778585035447453044423341349$