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pchip

分段三次Hermite插值多项式(PCHIP)

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语法

P = pchip(x,y,xq)
Pp = pchip(x,y)

描述

例子

p= pchip (x，y，xq）返回插值值的向量p中对应的查询点xq．的价值p是由保形分段三次插值的x而且y．

例子

页= pchip (x，y）返回用于的分段多项式结构ppval还有样条效用unmkpp．

例子

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比较所产生的插值结果样条，pchip,makima对于两个不同的数据集。这些函数都执行不同形式的分段三次埃尔米特插值。每个函数计算插值函数斜率的方式不同，当底层数据有平坦区域或波动时，会导致不同的行为。

在连接平坦区域的样本数据上比较插值结果。创建矢量x值，这些点的函数值y，和查询点xq．计算查询点上的插值样条，pchip,makima．在查询点处绘制插值函数值，以便进行比较。

X = -3:3;Y = [-1 -1 -1 0 1 1 1];Xq1 = -3:.01:3;P = pchip(x,y,xq1);S =样条(x,y,xq1);M = makima(x,y,xq1);情节(x, y,“o”xq1, p,“- - -”xq1年代,“-”。xq1, m,“——”)传说(采样点的，“pchip”，样条的，“makima”，“位置”，“东南”）

图中包含一个轴对象。axis对象包含4个line类型的对象。这些对象表示样本点，pchip，样条，makima。

在这种情况下，pchip而且makima具有相似的行为，避免过冲，可以准确地连接平坦区域。

使用振荡抽样函数进行第二次比较。

X = 0:15;Y = besselj(1,x);Xq2 = 0:0.01:15;P = pchip(x,y,xq2);S =样条(x,y,xq2);M = makima(x,y,xq2);情节(x, y,“o”xq2, p,“- - -”xq2年代,“-”。xq2, m,“——”)传说(采样点的，“pchip”，样条的，“makima”）

图中包含一个轴对象。axis对象包含4个line类型的对象。这些对象表示样本点，pchip，样条，makima。

当下面的函数是振荡的，样条而且makima更好地捕捉点之间的运动pchip它在局部极值附近被猛烈地夷为平地。

打开实时脚本

创建向量x值和函数值y，然后使用pchip构造一个分段多项式结构。

X = -5:5;Y = [1 1 1 1 0 0 1 2 2 2];P = pchip(x,y);

使用结构ppval在几个查询点上计算插值。画出结果。

Xq = -5:0.2:5;Pp = ppval(p,xq);情节(x, y,“o”xq, pp、“-”。) ylim([-0.2 2.2])

图中包含一个轴对象。axis对象包含2个line类型的对象。

输入参数

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样本点，指定为一个向量。向量x指定数据所处的点y是给定的。的要素x必须是唯一的。

数据类型:单|双

采样点上的函数值，指定为数值向量、矩阵或数组。x而且y必须有相同的长度。

如果y是一个矩阵或数组，那么最后一个维度的值，y(::,…,j)，作为要匹配的值x．在这种情况下，的最后一个维度y长度必须和x．

数据类型:单|双

查询点，指定为标量、向量、矩阵或数组。所指明的各点xq是x插值函数值的-坐标yq计算pchip．

数据类型:单|双

输出参数

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查询点上的内插值，作为标量、向量、矩阵或数组返回。的大小p是与大小有关的y而且xq：

  • 如果y是向量吗p尺寸和xq．

  • 如果y数组的大小Ny =大小(y)时，则适用下列条件:

    • 如果xq那么是标量还是向量呢大小(p)返回纽约(1:end-1)长度(xq)]．

    • 如果xq是数组吗大小(p)返回纽约(1:end-1)大小(xq)．

分段多项式，以结构形式返回。元素使用此结构ppval函数计算一个或多个查询点上的插值多项式。该结构具有这些字段。

场 描述
形式

“页”为分段多项式
休息时间

长度向量L + 1的开始和结束的严格递增元素l时间间隔
系数

l——- - - - - -k每一行的矩阵系数(我,:)包含某一阶局部系数的k的多项式我th间隔,[休息(我),优惠(i + 1)
块

件数，l
订单

多项式的阶数
昏暗的

目标的维度

因为多项式系数系数为每个区间的局部系数，则必须减去对应结区间的下端点才能在常规多项式方程中使用这些系数。换句话说，对于系数(a, b, c, d)在间隔中(x1, x2)，对应的多项式为

f （ x ） ＝ 一个 （ x − x 1 ） 3. + b （ x − x 1 ） 2 + c （ x − x 1 ） + d ．

更多关于

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保持形状的分段三次插值

pchip使用分段三次多项式进行插值 P （ x ） 具有这些属性:

  • 在每个子区间上 x k ≤ x ≤ x k + 1 ，多项式 P （ x ） 是给定数据点的三次埃尔米特插值多项式，在插值点处具有指定的导数(斜率)。

  • P （ x ） 篡改y，也就是说， P （ x j ） ＝ y j ，和一阶导数 d P d x 是连续的。二阶导数 d 2 P d x 2 可能不是连续的，所以跳到 x j 是有可能的。

  • 三次插值 P （ x ） 就是保持形状。的斜率 x j 都是以这样的方式被选择的 P （ x ） 保持数据的形状并尊重单调性。因此，在数据是单调的区间上，也是单调的 P （ x ） ，并且在数据具有局部极值的点上，也具有局部极值 P （ x ） ．

请注意

如果y是一个矩阵， P （ x ） 的每一行都满足这些性质y．

提示

  • 样条构造 年代 （ x ） 以几乎相同的方式pchip构造 P （ x ） ．然而,样条选择斜率 x j 不同的是，也就是扯平 年代 ” （ x ） 连续的。这种差异有几个影响:

    • 样条产生更平滑的结果，如 年代 ” （ x ） 是连续的。

    • 样条如果数据由平滑函数的值组成，则产生更准确的结果。

    • pchip如果数据不平滑，则没有超调和振荡。

    • pchip安装成本更低。

    • 两者的评估成本相同。

参考文献

[1]弗里奇，f.n.和r.e.卡尔森。单调分段三次插值。数值分析杂志．卷17,1980，第238 - 246页。

卡哈纳，大卫，克莱夫·莫勒，斯蒂芬·纳什。数值方法与软件．上马鞍河，新泽西州:Prentice Hall, 1988。

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