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ノッチフィルターの離散化
この例では,ノッチフィルターを離散化するいくつかの手法を比較します。制御システムのコンポーネントはしばしば連続時間において設計されますが,それらは一般的に,デジタルコンピューターや組み込みプロセッサ上で実装するために離散化されなければなりません。
連続時間ノッチフィルター
ノッチフィルターは,特定の周波数におけるゲインを急激に減衰させることによって,その周波数の信号成分を除去するように設計されています。この例では,次のノッチフィルターを想定します。
波德コマンドを使用すると,このフィルターの周波数応答をプロットできます。
H = tf([1 0.5 100]，[1 5 100]);波德(H)、网格
このノッチフィルターでは,周波数w = 10 rad /秒において20 dbの減衰が生じます。
離散化手法の選択
汇集コマンドを使用すると,連続時間システムを離散化できます。控制系统工具箱™ では、以下をはじめとした離散化アルゴリズムがサポートされています。
ゼロ次ホールド
1次ホールド
インパルス不変法
Tustin(双一次近似)
周波数プリワーピングをもつTustin変換
極と零点マッチング法
どの方法を選択すべきかは,適用性や要件によって決まります。
ゼロ次ホールド方法と1次ホールド方法,およびインパルス不変法は,時間領域における離散近似に適しています。たとえば,ZOH離散化のステップ応答は,各タイムステップにおける連続タイムステップ応答と一致します(サンプリングレートに依存しません)。
t = 0.1;民=汇集(H, Ts,“zoh”）;步骤(H,“b”民,“r”),传说(“连续”，“以10hz离散化”）
同様に,インパルス不変法による離散化では,インパルス応答が元のシステムと同じになります。
G = tf([1 -3]，[1 2 10]);Gd =汇集(G, Ts,“小鬼”）;冲动(G,“b”Gd,“r”)传说(“连续”，“以10hz离散化”）
一方,Tustin方法とマッチング法は,ゲインと位相ひずみがナイキスト周波数の近傍において少なくなるため,周波数領域において性能が向上する傾向があります。たとえば,ZOH、Tustinおよびマッチング法の各アルゴリズムを使用して,連続時間ノッチフィルターとその離散化のボード応答を比較します。
热变形=汇集(H, Ts,“tustin”）;Hdm =汇集(H, Ts,“匹配”）;波德(H,“b”民,“r”热变形,“米”Hdm,‘g’，{1 100})，网格图例(“连续”，“ZOH”，“Tustin”，“匹配”）
この比較が示すとおり,マッチング法では,ノッチフィルターの最も正確な周波数領域近似が得られます。ただし,ノッチ周波数と等しいプリワーピング周波数を指定することで,Tustinアルゴリズムの精度をさらに高めることができます。これによりw = 10 rad /秒の近傍で正確なマッチングが確実に行われるようになります。
黄芪丹参滴丸=汇集(H, Ts,“prewarp”10);波德(H,“b”热变形,“米”黄芪丹参滴丸,‘g’，{1 100})，网格图例(“连续”，“Tustin”，“与prewarping Tustin”）
サンプリングレートの選択
サンプリングレートが高いほど,連続応答と離散化応答がより厳密に一致するようになります。ただし,サンプリングレートはどこまで小さくでき,同様に,サンプリング間隔はどこまで大きくできるでしょうか。経験則として,ある周波数wmまで連続モデルと離散化モデルをほぼ一致させるには,ナイキスト周波数(サンプリングレート×π)を必ずwmの2倍以上にします。ノッチフィルターの場合は,10 rad /秒の近傍で形状を維持する必要があるため,ナイキスト周波数を20 rad /秒より高くして,サンプリング周期が最大π/ 20 = 0.16 sになるようにします。
この選択肢を確認するには,サンプリング周期を0.1,0.15,および0.3に設定して,一致した離散化を比較します。
Hd1 =汇集(H, 0.1,“米”）;Hd2 =汇集(H, 0.15,“米”）;Hd3 =汇集(H, 0.3,“米”）;波德(H,“b”,即“r”Hd2,“米”Hd3,‘g’，{1 100})，网格图例(“连续”，“t = 0.1”，“t = 0.15”，“t = 0.3”）
予想どおり,Ts < 0.16では離散化の精度がかなり高く維持されますが,サンプリング間隔がそれより大きくなると精度が下がり始めます。
対話型GUI
次のリンクをクリックして対話型GUIを起動すると,離散化アルゴリズムとサンプリングレートの選択内容によって離散化ノッチフィルターがどのような影響を受けるかがさらに示されます。
notch_gui
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