セクター境界とセクターインデックスについて

円锥セクター

最も単純な形式では,円錐セクターは2本のライン<年代pan class="inlineequation"> $y ＝一个 u$ と<年代pan class="inlineequation"> $y ＝ b u$ で区切られた2次元領域です。

影付き領域は不等式<年代pan class="inlineequation"> $（ y - 一个 u ）（ y - b u ） < 0$ で特徴付けます。より一般的には，このようなセクターは次ようにパラメーターできでき。

${（ \begin{array}{c} y \\ u \end{array} ）}^{T} 问（ \begin{array}{c} y \\ u \end{array} ） < 0 ，$

ここで,<年代pan class="inlineequation"> $问$ は2行2列の対称不定行列(<年代pan class="inlineequation"> $问$ には正の固有値が1つと負の固有値が1つ含まれる)です。<年代pan class="inlineequation"> $问$ は<年代pan class="emphasis">“セクター行列“と呼ばれます。この概念は高次元にも一般化されます。N次元空間の場合、円錐セクターは次の集合になります。

$年代＝｛ z \in R^{N} ： z^{T} 问 z < 0 ｝，$

ここでも<年代pan class="inlineequation"> $问$ は対称不定行列です。

セクター境界

セクター境界はシステムの動作に対する制約です。ゲインの制約と受動性の制約はセクター境界の特殊ケースにあたります。すべての非ゼロ入力軌跡が<年代pan class="inlineequation"> $u （ t ）$ の場合,線形システム<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ の出力軌跡<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ は次を満たします。

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）问 z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ，$

この場合,<年代pan class="inlineequation"> $H$ のの力量轨迹行列<年代pan class="inlineequation"> $问$ をもつ円錐セクター内に配置されます。異なる行列<年代pan class="inlineequation"> $问$ を選択すると,システムの応答に異なる条件が課されます。たとえば,軌跡<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝（ G u ）（ t ）$ および次の値を考えます。

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）．$

これらの値は次のセクター境界に相当します。

$\int_{0}^{T} {（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ）}^{T} （ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

このセクター境界は次に示す<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ の受動性条件と等価です。

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > 0 ， \forall T > 0 ．$

つまり,受動性は,次で定義されるシステムにおける特別なセクター境界です。

$H ＝（ \begin{array}{c} G \\ 我 \end{array} ）．$

周波数領域の条件

时间领域の条件はすべての<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ で成立しなければならないため,等価な周波数領域の境界を導出するには若干の注意が必要であり,常に可能とは限りません。以下の

$问＝ W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2}$

を,不定行列<年代pan class="inlineequation"> $问$ をその正の部分と負の部分に(任意に)分解したものであるとします。<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ が正方で最小位相(不安定な零点をもたない)の場合,時間領域の条件

$\int_{0}^{T} （ H u ）（ t ）^{T} 问（ H u ）（ t ） d t < 0 ， \forall T > 0$

は,次の周波数領域の条件と同等です。

$H （ j ω. ）^{H} 问 H （ j ω. ） < 0 \forall ω. \in R ．$

このため,実周波数のセクターの不等式を確認するだけで十分です。<年代pan class="inlineequation"> $问$ の分解を使用すると,これは次とも等価になります。

${为（ W_{1}^{T} H ）（ W_{2}^{T} H ）^{- 1} 为}_{\infty} < 1 ．$

$W_{2}^{T} H$ が正方になるのは<年代pan class="inlineequation"> $问$ の負の固有値の数が<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ の入力チャネルと同数の場合であることに注意してください。この条件が満たされない場合,実周波数を確認するだけでは(一般的に)不十分です。また,<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ が正方の場合,これは,セクター境界が成立するためには最小位相でなければなりません。

この周波数領域の特性は<一个href="//www.tatmou.com/jp/help/control/ref/sectorplot.html" class="a">sectorplotのベースとなります。具体的には,sectorplotは<年代pan class="inlineequation"> $（ W_{1}^{T} H （ j ω. ））（ W_{2}^{T} H （ j ω. ））^{- 1}$ の特異値を周波数の関数としてプロットします。セクター境界は,最大特異値が 1 未満に留まる場合にのみ満たされます。さらに、プロットには、セクター境界が満たされるのか違反されるのかや、満たされる度合いまたは違反される度合いといった周波数帯域に関する有用な情報が含まれます。

たとえば,特定のセクターについて2出力2入力システムのセクタープロットを調べます。

RNG（4，<年代pan style="color:#A020F0">“旋风”）;H = rss(3、4、2);Q = [-5.12 2.16 -2.04 2.17 2.16 -1.22 -0.28 -1.11 -2.04 -0.28 -3.35 0.00 2.17 -1.11 0.00 - 0.18);sectorplot (H, Q)

プロットは,<年代pan class="inlineequation"> $（ W_{1}^{T} H （ j ω. ））（ W_{2}^{T} H （ j ω. ））^{- 1}$ の最大特价が，およそ0.5 rad / sより下のと3 rad / sあたりの狭い内ででます示し示しますますて示し示し示してて示し示し。Hは问で表されるセクター境界を満たしていません。

相対セクターインデックス

相対受動性インデックスの概念を任意のセクターに拡張できます。<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ をLTIシステムとし,

$问＝ W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2} ， W_{1}^{T} W_{2} ＝ 0$

は,<年代pan class="inlineequation"> $问$ の正の部分と負の部分への直交分解とします。これは,<年代pan class="inlineequation"> $问$ の舒尔分解で簡単に取得できます。<年代pan class="emphasis">“相対セクターインデックス”<年代pan class="inlineequation"> $R$ （rインデックス）は，すべてのの力轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ について次を満たす最小の<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ として定義されます。

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）（ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2} ） z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

$r$ を増やすと<年代pan class="inlineequation"> $W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ がさらに負になるため,不等式は通常<年代pan class="inlineequation"> $r$ が十分に大きい場合に満たされます。ただし,決して満たされないこともあり,その場合,Rインデックスは<年代pan class="inlineequation"> $R ＝ + \infty$ です。元のセクター境界が満たされるのは<年代pan class="inlineequation"> $R \leq 1$ の場合のみであることは明らかです。

Rインデックスの幾何学的解釈を理解するには,行列<年代pan class="inlineequation"> $问（ r ）＝ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ をもつ円錐ファミリを考えます。2次元では,円錐の傾斜角度<年代pan class="inlineequation"> $θ$ は<年代pan class="inlineequation"> $r$ と次のような関係にあります。

$棕褐色（ θ ）＝ r \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为}$

(以下の図を参照)。より一般的には,<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色（ θ ）$ は<年代pan class="inlineequation"> $R$ に比例します。したがって,行列<年代pan class="inlineequation"> $问$ をもつ円錐セクターが与えられた場合,Rインデックス値<年代pan class="inlineequation"> $R < 1$ は,<年代pan class="inlineequation"> $H$ の出力軌跡の一部が円錐セクターを離れる前に<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色（ θ ）$ を係数<年代pan class="inlineequation"> $R$ で縮小(円錐を細く)できることを意味します。同様に値<年代pan class="inlineequation"> $R > 1$ は,<年代pan class="inlineequation"> $H$ の出力軌跡をすべて含めるには<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色（ θ ）$ を係数<年代pan class="inlineequation"> $R$ で増大させ(円錐を広げ)なければならないことを意味します。これにより,明らかに,Rインデックスは<年代pan class="inlineequation"> $H$ の応答がどの程度特定の円錐セクターに収まるかを示す相対尺度になります。

この図では

$d_{1} \frac{| W_{1}^{T} z |}{为 W_{1} 为} ， d_{2} \frac{| W_{2}^{T} z |}{为 W_{2} 为} ， R ＝ \frac{| W_{1}^{T} z |}{| W_{2}^{T} z |} ，$

および

$棕褐色（ θ ）＝ \frac{d_{1}}{d_{2}} ＝ R \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为} ．$

$W_{2}^{T} H （年代）$ が正方で最小位相の場合,Rインデックスは周波数領域で次を満たす最小の<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ として特徴付けることもできます。

$H （ j ω. ）^{H} （ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2} ） H （ j ω. ） < 0 \forall ω. \in R ．$

初等代数学ではこれは以下になります。

$R ＝ \underset{ω.}{马克斯} 为（ W_{1}^{T} H （ j ω. ））（ W_{2}^{T} H （ j ω. ））^{- 1} 为．$

言い換えればRインデックスは(安定した)伝達関数<年代pan class="inlineequation"> $Φ （年代）：＝（ W_{1}^{T} H （年代））（ W_{2}^{T} H （年代））^{- 1}$ のピークゲインであり,<年代pan class="inlineequation"> $Φ （ j w ）$ の特異値は各周波数の”主成分“Rインデックスと見なすことができます。これによりRインデックスと周波数のプロットが特異値のプロットのように見える理由もわかります(<一个href="//www.tatmou.com/jp/help/control/ref/sectorplot.html" class="a">sectorplotを参照)。相対セクターインデックスとシステムゲインの間には完全な相似があります。ただし,この相似は<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ が正方で最小位相の場合にのみ成立します。

方向セクターインデックス

同様に,方向受動性インデックスの概念を任意のセクターに拡張できます。行列<年代pan class="inlineequation"> $问$ をもつ円錐セクターがあり,方向が<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ の場合,方向セクターインデックスはすべての出力軌跡<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ で次が満たされるような最大の<年代pan class="inlineequation"> $τ$ になります。

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）（问 + τ δ 问） z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

システム<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ の方向驾驶性インデックス次ににします。

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）．$

方向セクターインデックスは,<年代pan class="inlineequation"> $H$ の出力軌跡の周囲にぴったり合わせるために,セクターを方向<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ にどれだけ変形させる必要があるかで測定されます。セクター境界は方向インデックスが正の場合にのみ満たされます。

共通のセクター

セクター境界を指定する方法は多数あります。次に,よく使われる式を検討し,それに対応するシステム<年代pan class="inlineequation"> $H$ およびセクター行列<年代pan class="inlineequation"> $问$ を,getSectorIndexおよびsectorplotで使用される標準形式に対し指定します。

$\int_{0}^{T} （ H u ）（ t ）^{T} 问（ H u ）（ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

簡単にするために,これらの説明では次の表記を使用します。

$为 x 为_{T} ＝ \int_{0}^{T} 为 x （ t ）为^{2} d t ，$

また,<年代pan class="inlineequation"> $\forall T > 0$ の要件を省略します。

受動性

受動性は次で表されるセクター境界です。

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）．$

ゲインの制約

ゲインの制約<年代pan class="inlineequation"> ${为 G 为}_{\infty} < γ$ は次で表されるセクター境界です。

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 我 & 0 \\ 0 & - γ^{2} 我 \end{array} ）．$

距離の割合

次の”内部“の制約を考えます。

$为 y - c u 为_{T} < r 为 u 为_{T}$

ここで,<年代pan class="inlineequation"> $c ， r$ はスカラーで,<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝（ G u ）（ t ）$ です。これは次で表さセクターセクターです。

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 我 & - c 我 \\ - c 我 & （ c^{2} - r^{2} ）我 \end{array} ）．$

基礎となる円錐セクターは<年代pan class="inlineequation"> $y ＝ c u$ に対してに対して対称。同様同様，“外部”のの

$为 y - c u 为_{T} > r 为 u 为_{T}$

は次で表されるセクター境界です。

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} - 我 & c 我 \\ c 我 & （ r^{2} - c^{2} ）我 \end{array} ）．$

二重不等式

静的な非線形性を扱う場合,次の形式の円錐セクターを検討するのが一般的です。

$一个 u^{2} < y u < b u^{2} ，$

ここで,<年代pan class="inlineequation"> $y ＝ φ. （ u ）$ は非線形出力です。この関係自体はセクター境界ではありませんが,明らかに次を示します。

$一个 \int_{0}^{T} u （ t ）^{2} d t < \int_{0}^{T} y （ t ） u （ t ） d t < b \int_{0}^{T} u （ t ）^{2} d t$

これは,すべてのI / O軌跡に沿って,またすべての<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ について成り立ちます。この条件は次で表されるセクター境界と同等になります。

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} φ. （．） \\ 1 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 1 & - （一个 + b ） / 2 \\ - （一个 + b ） / 2 & 一个 b \end{array} ）．$

乗算形式

次の形式の一般化されたセクター境界

$\int_{0}^{T} （ y （ t ） - K_{1} u （ t ））^{T} （ y （ t ） - K_{2} u （ t ）） d t < 0$

は次に相当します。

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 2 我 & - （ K_{2} + K_{1}^{T} ） \\ - （ K_{1} + K_{2}^{T} ） & K_{1}^{T} K_{2} + K_{2}^{T} K_{1} \end{array} ）．$

前述のように,次の静的セクター境界

$（ y - K_{1} u ）^{T} （ y - K_{2} u ） < 0$

は上記の積分セクター境界を示します。

近年散逸

次を満たす场合，システム<年代pan class="inlineequation"> $y ＝ G u$ は近年散逸です。

$\int_{0}^{T} {（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ）}^{T} （ \begin{array}{cc} 问 & 年代 \\ {年代}^{T} & R \end{array} ）（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ） d t > 0 ， \forall T > 0 ．$

これこれは次でで表れるセクター境界境界

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝ - （ \begin{array}{cc} 问 & 年代 \\ {年代}^{T} & R \end{array} ）．$

参考
getSectorCrossover|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">getSectorIndex|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">sectorplot

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受動性および受動性インデックスについて

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