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使用Farrow结构的分数延迟过滤器

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此示例显示了如何设计使用Farrow结构实现的数字分数延迟过滤器。数字分数延迟过滤器是微调信号瞬间采样的有用工具。例如，它们通常在数字调制解调器的同步中找到，其中延迟参数随时间而变化。此示例说明了Farrow结构，这是一种实现时变FIR分数延迟过滤器的流行方法。

理想的分数延迟过滤器

理想的分数延迟滤波器是线性相的Allpass滤波器。它的脉冲响应是与非因果过滤器相对应的时间变化的离散SINC函数。由于脉冲响应是无限的，因此无法通过有限的时间变化使其因果关系。因此，它是不可实现的，必须近似。

Farrow结构

要计算分数延迟过滤器的输出，我们需要估计现有离散时间样本之间的输入信号的值。特殊的插值过滤器可用于计算任意点的新样本值。其中，基于多项式的过滤器特别感兴趣，因为一种特殊的结构（Farrow结构）允许简单处理系数。特别是，Farrow结构的可调性使其非常适合实用的硬件实现。

最大弹性FIR近似（拉格朗日插值）

拉格朗日插值是一种时间域方法，可导致基于多项式过滤器的特殊情况。输出信号用多项式近似m。最简单的情况（m= 1）对应于线性插值。让我们设计和分析一个线性分数延迟过滤器，该过滤器将将单位延迟按各种分数分开：

nx = 1024;nf = 5;yw = zeros（nx，nf）;Transferfuncestimator = DSP.TransferFunctionEstimator（...“光谱”，25，'频率范围'，，，，'片面'）；ARRPLOTPHASEDELAY = DSP.ARRAYPLOT（“ plottype'，，，，'线'，，，，'ylimits'，[0 1.5]，...'ylabel'，，，，“相延迟”，，，，“样品灌输”，1/512）;arrplotmag = dsp.ArrayPlot（“ plottype'，，，，'线'，，，，'ylimits'，[-10 1]，，...'ylabel'，，，，“大小（db）”，，，，“样品灌输”，1/512）;fracdelay = dsp.VariableFractionalDelay;xw = randn（nx，nf）;Transferfuncestimator（XW，YW）;w = getFrequencyVector（TransferFuncestimator，2*pi）;w = repmat（w，1，nf）;tic，尽管toc <2 yw = fracdelay（xw，[0 0.2 0.4 0.6 0.6 0.8]）;H = TransferFuncestimator（XW，YW）;arrplotmag（20*log10（abs（h）））arrplotphasedelay（-angle（h）./ w）结尾版本（Fracdelay）版本（TransferFuncestimator）版本（ARRPLOTMAG）

释放（arrplotphasedelay）

对于延迟的任何值，理想的滤波器应具有平坦的幅度响应和扁平相延迟响应。近似仅适用于最低频率。这意味着在实践中，对于线性分数延迟才能正确工作，需要对信号进行过多采样。在这里，您可以在正弦波中应用两个不同的分数延迟，并使用时间范围覆盖原始的正弦波和两个延迟版本。样品速率为1000 Hz的0.2样品延迟，对应于0.2 ms。

范围= timescope（'采样率'，1000，...'ylimits'，[-1 1]，...'时间跨度'，.02，...“ timespanoverrunaction”，，，，'滚动'）；正弦= DSP.SineWave（'频率'，50，“ SampleSperFrame”，nx）;tic，尽管toc <2 x = sine（）;y = fracdelay（x，[。2.8]）;延迟％延迟0.2毫秒，0.8毫秒范围（[x，y（：，1），y（：，2）]）结尾释放（fracdelay）版本（范围）;

可以设计高阶拉格朗日插值器。让我们将立方拉格朗日插值器与线性比较：

farrowfracdelay = dsp.VaribleFractionalDelay（...“插值仪”，，，，'farrow'，，，，“最大值”，1025）;nf = 2;yw = zeros（nx，nf）;xw = randn（nx，nf）;H = TransferFuncestimator（XW，YW）;w = getFrequencyVector（TransferFuncestimator，2*pi）;w = repmat（w，1，nf）;tic，尽管TOC <2％运行2秒yw（：，1）= fracdelay（xw（：，1），0.4）;％延迟限制为0.4 msyw（：，2）= farrowfracdelay（xw（：，2），1.4）;％延迟1.4毫秒H = TransferFuncestimator（XW，YW）;arrplotmag（20*log10（abs（h）））arrplotphasedelay（-unwrap（angle（h））./ w）结尾版本（Fracdelay）版本（TransferFuncestimator）版本（ARRPLOTMAG）

释放（arrplotphasedelay）

当使用Lagrange近似时，多项式增加的顺序会稍微增加有用的带宽。分化过滤器的长度，即脉冲响应的零件数（“系数”属性的行数）等于多项式的长度（“系数”属性的列数）。其他设计方法可用于克服此限制。另请注意，在DC时，三阶滤波器的相延迟如何从0.4变为1.4个样品。由于立方拉格朗日插值器是第三阶过滤器，因此它可以实现的最小延迟为1。因此，此情况的延迟为1.4 ms而不是0.4 ms。

正弦= DSP.SineWave（'频率'，50，“ SampleSperFrame”，nx）;tic，尽管toc <2 x = sine（）;y1 = fracdelay（x，0.4）;y2 = farrowfracdelay（x，1.4）;范围（[X，Y1，Y2]）结尾释放（fracdelay）版本（范围）;

时变的分数延迟

Farrow结构比直接FIR的优势在于其可调性。在许多实际应用中，延迟是时间变化的。对于每个新延迟，我们将需要在直接形式实现中进行一组新系数，但是通过Farrow实现，多项式系数保持恒定。

tic，尽管toc <5 x = sine（）;如果TOC <1延迟= 1;ElseifTOC <2延迟= 1.2;ElseifTOC <3延迟= 1.4;ElseifTOC <4延迟= 1.6;别的延迟= 1.8;结尾y = farrowfracdelay（x，delay）;范围（[x，y]）结尾释放（fracdelay）版本（范围）;

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