缺失数据的估价
介绍
资本资产定价模型（CAPM）是一个久负盛名但经常被人诟病的工具，用于描述资产和市场价格之间的共同变动。尽管在CAPM的实施和解释中出现了许多问题，但从业者面临的一个问题是在不完整的股价数据下估计CAPM的系数。
这个例子展示了如何使用缺失数据回归函数来估计CAPM的系数CAPMdemo.m位于matlabroot/工具箱/财务/findemos.
资本资产定价模型
参考文献中给出了大量假设（见Sharpe[11]，林特纳[6]，贾罗[5]，夏普等人。[12])， CAPM的结论是资产收益与市场收益呈线性关系。具体来说，给定构成市场的所有股票的回报为M以及表示为C，CAPM声明每项资产的回报R我在市场上有期待的形式
资产我= 1, ...,N哪里β我是一个参数，用于指定给定资产与基础市场之间的协同移动程度。换句话说，每项资产的预期回报等于无风险资产的回报加上经风险调整的预期市场回报减去无风险资产回报。参数集合β1., ...,βN被称为资产测试。
资产的贝塔系数具有以下形式：
也就是资产和市场收益的协方差除以市场收益的方差。贝塔指金融工具相对于市场或指数整体价格波动的价格波动。贝塔通常用于股票。高贝塔工具比低贝塔工具风险更大。如果资产的贝塔系数为1，则称该资产随市场波动；如果资产的贝塔系数大于1，则称该资产为比市场更具波动性。相反，如果一项资产的贝塔值小于1，则该资产的波动性低于市场。
CAPM的估计
标准CAPM模型是一个线性模型，每个资产都有额外的参数来描述剩余误差N资产M观察到的资产收益样本Rk、 我，市场回报率MK，以及无风险的资产回报CK，估算模型的形式为
样品K= 1, ...,M和资产我= 1, ...,N哪里α我是指定资产的非系统性回报的参数，β我是资产测试版，以及vk、 我是具有相关随机变量的每个资产的残差v我.
参数集合α1., ...,αN被称为资产阿尔法。CAPM的严格形式规定Alpha必须为零，并且与零的偏差是暂时不平衡的结果。然而，在实践中，资产可能具有非零阿尔法，其中许多积极的投资管理致力于寻找具有可利用非零阿尔法的资产。
为了考虑非零alphas的可能性，估计模型通常寻求估计alphas，并执行测试以确定alphas在统计上是否等于零。
残差v我假设有时刻
和
资产我,我= 1, ...,N，其中s11, ...,snn称为残差或非系统方差/协方差。
每个资产的剩余方差的平方根，例如，sqrt(s二,)对于我= 1, ...,N，被称为资产的剩余风险或非系统风险，因为其表征的是资产价格的剩余变化，而不是市场价格的变化。
缺失数据估计
虽然可以为具有足够长资产回报历史的公司估算BETA，但很难为最近的IPO估算BETA。但是，如果存在一组足够可观察的公司，可以预期这些公司与新公司的股票价格变动有一定程度的相关性，即与新公司所在行业相同，可以通过缺失数据回归例程获得新公司Beta的估算值。
一些技术股票beta的估计
为了说明如何使用缺失数据回归例程，估计12只科技股的beta，其中一只股票（GOOG）是IPO。
从mat -文件中载入12支股票的日期、总回报率和股票代码
CAPMuniverse.负载CAPMuniverse谁资产数据日期
名称大小字节类属性资产1x14 1568单元格数据1471x14 164752双日期1471x1 11768双
模型中的资产具有以下符号，其中最后两个系列是市场和无风险资产的代理：
资产（1:7）资产（8:14）
ans='AAPL''AMZN''CSCO''戴尔''易趣''谷歌''HPQ''ans='IBM''INTC''MSFT''ORCL''YHOO''市场''现金'
数据涵盖了2000年1月1日至2005年11月7日期间的每日总回报。这个宇宙中的两支股票缺少由
楠s、 这两支股票中的一支在这段时间内进行了首次公开募股，因此，其数据明显少于其他股票。计算每个股票的单独回归，其中缺失数据的股票具有反映其可观测性降低的估计值。
[NumSamples，NumSeries]=大小（数据）；NumAssets=NumSeries-2；开始日期=日期（1）；EndDate=日期（结束）；fprintf（1，“单独回归与”）;fprintf（1，'从%s到%s的每日总返回数据…\n',...datestr（StartDate，1），datestr（EndDate，1））；fprintf（1，“%4s%-20s%-20s%-20s\n”,'',“阿尔法”,“贝塔”,“西格玛”）;fprintf（1，' ---- -------------------- '）;fprintf（1，'--------------\n'）;对于i=1:NumAssets%设置单独的资产数据和设计矩阵TestData=zero（NumSamples，1）；TestDesign=zero（NumSamples，2）；TestData（：）=数据（：，i）-数据（：，14）；TestDesign（：，1）=1.0；TestDesign（：，2）=数据（：，13）-数据（：，14）；%分别估计每项资产的资本资产定价[Param，Covar]=ecmmvnrmle（测试数据，测试设计）；%估计协方差参数的理想标准误差[StdParam，StdCovar]=ecmmvnrstd（测试数据，测试设计，...科瓦尔，“费舍尔”）;%估计模型参数的样本标准误差StdParam = ecmmvnrstd(测试数据，测试设计，Covar，“黑森”）;%为输出设置结果α=参数（1）；β=参数（2）；σ=sqrt（Covar）；StdAlpha=StdParam（1）；StdBeta=StdParam（2）；StdSigma=sqrt（StdCovar）；%显示估计数fprintf(“%4s%9.4f（%8.4f）%9.4f（%8.4f）%9.4f（%8.4f）\n”,...资产{i}，α（1），资产支持证券（α（1）/StdAlpha（1）），...Beta（1）、abs（Beta（1）/StdBeta（1））、Sigma（1）、StdSigma（1））；终止
此代码片段生成下表。
使用2000年1月3日至2005年11月7日的每日总收益数据进行单独回归。。。阿尔法-贝塔-西格玛---------------------------------------------------------AAPL 0.0012（1.3882）1.2294（17.1839）0.0322（0.0062）AMZN 0.0006（0.5326）1.3661（13.6579）0.0449（0.0086）CSCO-0.0002（0.2878）1.5653（23.6085）0.0298（0.0057）戴尔-0.0000（0.0368）1.2594（22.2164）0.0255（0.0049）易趣0.0014（1.4326）1.0732（1.7328）0.0352（0.0071）HPQ 0.0552（0.0071）HPQ（0.0071）HPQ 0.0001（0.1747）1.3745（0.1747）1.3745（24.239 0 0 0.239 0）1.3745（24.239 0.239 0 0）0.237（24.239 0）0（24.239 0）0）0 0（24（24.239 0）0）0）0（24（24.239 0）0）0）0（24（24（24（24.239 0）0）0）0）0 0）0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0（0）0）0）0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0（0 0 0（0）0）0）0（0（0（0）0）0）0）0（0（0（0 0 0（0）0）0）0（0（（a）0.0319（0.0061）YHOO 0.0001（0.1282）1.6543（19.3838）0.0384（0.0074）
这个
阿尔法列包含每个股票的阿尔法估计值，如预期的接近零。此外，t-统计量（括在括号中）通常拒绝阿尔法在99.5%显著性水平上不为零的假设。这个
贝塔列包含每个股票的贝塔估计值，这些股票的t-统计数据也包含在括号中。对于除GOOG以外的所有股票，Beta非零的假设在99.5%的显著性水平上被接受。然而，谷歌似乎没有足够的数据来获得对贝塔系数的有意义的估计，因为它的t统计量意味着否定了非零贝塔系数的假设。这个
西格玛列包含剩余标准偏差，即非系统风险的估计值。而不是T-在统计学中，剩余标准偏差的相关标准误差用括号括起来。
若干技术存量的分组估计
要估计所有12只股票的股票Beta，请建立一个联合回归模型，将所有12只股票分组在一个设计中。（由于每个股票都有相同的设计矩阵，该模型实际上是一个看似不相关的回归示例。）估计模型参数的例行程序如下：ecmmvnrmle，估计标准误差的程序为ecmmvnrstd.
由于GOOG有大量缺失值，因此直接使用缺失数据例程ecmmvnrmle需要482次迭代才能收敛。这可能需要很长时间来计算。为简洁起见，前480次迭代后的参数和协方差估计包含在MAT文件中，并用作计算股票Beta的初始估计。
负载CAPMgroupparam谁Param0科瓦罗
名称大小字节类属性Covar0 12x12 1152双参数0 24x1 192双参数
现在估计收集12只股票的参数。
fprintf（1，“\n”）;fprintf（1，“分组回归与”）;fprintf（1，'从%s到%s的每日总返回数据…\n',...datestr（StartDate，1），datestr（EndDate，1））；fprintf（1，“%4s%-20s%-20s%-20s\n”,'',“阿尔法”,“贝塔”,“西格玛”）;fprintf（1，' ---- -------------------- '）;fprintf（1，'--------------\n')；NumParams=2*NumAssets；%设置分组资产数据和设计矩阵TestData = 0 (NumSamples, NumAssets);TestDesign = cell(NumSamples, 1);设计= 0 (NumAssets, NumParams);对于k=1:NumSamples对于i=1:NumAssets测试数据（k，i）=数据（k，i）-数据（k，14）；设计（i，2*i-1）=1.0；设计（i，2*i）=数据（k，13）-数据（k，14）；终止TestDesign {k} =设计;终止%估计所有资产的CAPM以及初始参数%估计数[Param，Covar]=ecmmvnrmle（TestData，TestDesign，[]，[]，[]，[]，[]，...Param0，Covar0）；%估计协方差参数的理想标准误差[StdParam，StdCovar]=ecmmvnrstd（TestData，TestDesign，Covar，...“费舍尔”）;%估计模型参数的样本标准误差StdParam = ecmmvnrstd(测试数据，测试设计，Covar，“黑森”）;%为输出设置结果α=参数（1:2:end-1）；β=参数（2:2：结束）；Sigma=sqrt（diag（Covar））；StdAlpha=StdParam（1:2:end-1）；StdBeta=StdParam（2:2：结束）；StdSigma=sqrt（diag（StdCovar））；%显示估计数对于i=1:NumAssets fprintf(“%4s%9.4f（%8.4f）%9.4f（%8.4f）%9.4f（%8.4f）\n”,...资产{i}、α（i）、资产支持证券（α（i）/StdAlpha（i）），...β(i)、abs(β(i) / StdBeta(我)),σ(i), StdSigma (i));终止
此代码片段生成下表。
从2000年1月3日到2005年11月7日，使用每日总收益数据进行分组回归…α-β-西格玛----------------------------------------------------------------------AAPL 0.0012（1.3882）1.2294（17.1839）0.0322（0.0062）AMZN 0.0007（0.6086）1.3673（13.6427）0.0450（0.0086）CSCO-0.0002（0.2878）1.5653（23.6085）0.0298（0.0057）戴尔-0.0000（0.0368）1.2594（22.2164）0.0255（0.0049）易趣0.0014（1.4326）1.3441（16.0732）0.0376（0.0072）GOOG 0.0041（2.8907）0.6173（3.1100）0.0337（0.0065）HPQ 0.0001（0.1747）1.3745（24.2390）0.0255（0.0049）IBM-0.0000（0.0312）1.0807（28.7576）0030.0162（0.0001）0.068（0.060）0.060MSFT-0.0002（0.4871）1.1765（27.4554）0.0193（0.0037）ORCL 0.0000（0.0389）1.5010（21.1855）0.0319（0.0061）YHOO 0.0001（0.1282）1.6543（19.3838）0.0384（0.0074）
虽然完整数据股票的结果是相同的，但AMZN和GOOG（两种股票缺失值）的贝塔估计值与分别为每种股票得出的估计值不同。由于AMZN几乎没有缺失值，估计值的差异很小。然而，与谷歌的区别更为明显。
这个T-GOOG的贝塔估计值的统计现在在99.5%的显著性水平上是显著的T-贝塔估计的统计数据基于样本Hessian的标准误差，与Fisher信息矩阵相比，该标准误差解释了由于缺失值导致的估计不确定性增加。如果T-统计量是由较为乐观的Fisher信息矩阵得到的T-GOOG的统计数据是8.25因此，尽管数据缺失导致不确定性增加，但GOOG仍有一个具有统计意义的β估计值。
最后，请注意GOOG的beta估计值为0.62-可能需要一些解释的值。尽管在这段时间里市场波动很大，价格横向波动，但谷歌的价值稳步上升。因此，它与市场的相关性较低，这意味着它的波动性小于市场(贝塔值< 1)。
参考文献
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[10] 沙弗，J.L。不完全多元数据的分析。查普曼和霍尔/CRC，1997年。
[11]夏普，《资本资产价格:风险条件下的市场均衡理论》金融杂志。1964年第19卷，第425-442页。
[12] 夏普，W.F.，G.J.亚历山大和J.V.贝利。投资。6版，Prentice-Hall, Inc.， 1999。
另见
convert2sur|ecmlsrmle|ecmlsrobj|ecmmvnrfish|ecmmvnrfish|ecmmvnrmle|ecmmvnrobj|ecmmvnrstd|ecmmvnrstd|河豚|埃克姆赫斯|埃克姆尼特|ecmnmle|ecmnobj|ecmnstd|mvnrfish|mvnrmle|mvnrobj|mvnrstd
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