约束的最小化问题

对于这个问题，要最小化的目标函数是一个二维变量的简单函数x．

simple_objective (x) = (4 - 2.1 * (1) ^ 2 + x (1) ^ 4/3) * x (1) ^ 2 + x (1) * (2) + (4 + 4 * x (2) ^ 2) * x (2) ^ 2;

正如L.C.W. Dixon和G.P. Szego所描述的，这种功能被称为“cam”［1］．

此外，该问题具有非线性约束和边界。

10 - X (1)* X(2) <= 0(非线性约束)0 <= X(1) <= 1(约束)0 <= X(2) <= 13(约束)

编写适应度函数

创建一个MATLAB文件名为simple_objective.m包含以下代码:

类型simple_objective

function y = simple_objective(x) % simple_objective for PATTERNSEARCH solver %版权所有x2 = x (2);y = (4 - 2.1 * x1。^ 2 + x1。^ 4. / 3)。* x1。^ 2 + x1。* x2 + (4 + 4 * x2。^ 2)。* x2。^ 2;

连接器等遗传算法接受单个输入x,在那里x元素的数量与问题中变量的数量相同。目标函数计算目标函数的标量值，并在其单个输出参数中返回y．

编写约束函数

创建一个MATLAB文件名为simple_constraint.m包含以下代码:

类型simple_constraint

函数[c, ceq] = simple_constraint(x) %c = [1.5 + x(1)*x(2) + x(1) - x(2);x - x (1) * (2) + 10);%无非线性等式约束:ceq = [];

约束函数计算所有不等式和等式约束的值，并返回向量c和量表信,分别。的价值c表示求解器试图使之小于或等于零的非线性不等式约束。的价值量表信表示求解器试图使其等于零的非线性等式约束。这个例子没有非线性等式约束，所以测查= []．有关详细信息,请参见非线性约束．

尽量减少使用遗传算法

将目标函数指定为函数句柄。

ObjectiveFunction = @simple_objective;

指定问题的边界。

Lb = [0 0];%下界Ub = [1 13];%上界

将非线性约束函数指定为函数句柄。

ConstraintFunction = @simple_constraint;

指定问题变量的数量。

据nvar = 2;

呼叫解算器，请求最佳点x函数在最优点处的值fval．

rng默认的%的再现性[x, fval] = ga (ObjectiveFunction,据nvar ,[],[],[],[], 磅,乌兰巴托,ConstraintFunction)

优化终止:适应度值的平均变化小于选项。函数容忍度和约束违背小于options. constraintolerance。

x =1×20.8122 - 12.3103

fval = 9.1268 e + 04

添加可视化

要观察求解器的进程，请指定选择两个绘图函数的选项。绘制函数gaplotbestf绘制每次迭代的最佳目标函数值，并绘制函数gaplotmaxconstr绘制每个迭代的最大约束违背。在单元格数组中设置这两个绘图函数。控件，在命令窗口中显示有关求解器进度的信息显示选项“通路”．

选择= optimoptions (“遗传算法”，“PlotFcn”{@gaplotbestf, @gaplotmaxconstr},.．.“显示”，“通路”）;

运行求解器，包括选项论点。

[x, fval] = ga (ObjectiveFunction,据nvar ,[],[],[],[], 磅,乌兰巴托,.．.ConstraintFunction选项)

单目标优化:2变量(s) 2非线性不等式约束(s)@mutationadaptfeasible Best Max Stall Generation Func-count f(x) Constraint Generations 1 2520 91342.3 00 2 4982 91324.1 4.605e-05 0 3 7914 97166.5 00 4 16157 96997.8 00 5 20675 91267.2 0.0009994 0优化终止:适应度值的平均变化小于选项。函数容忍度和约束违背小于options. constraintolerance。

x =1×20.8123 - 12.3103

fval = 9.1267 e + 04

通过迭代显示遗传算法提供有关问题类型和创建、交叉、变异和选择操作符的详细信息。

非线性约束的原因遗传算法在每次迭代中解决许多子问题。从图和迭代显示中可以看出，求解过程的迭代次数很少。然而,Func-count列在迭代显示中显示每个迭代的许多函数求值。

的遗传算法求解器处理线性约束和边界不同于非线性约束。在整个优化过程中，所有的线性约束和界限都得到满足。然而,遗传算法可能不满足每一代的所有非线性约束。如果遗传算法收敛于一个解，非线性约束将在该解处得到满足。

遗传算法利用突变和交叉功能在每一代产生新的个体。的方式遗传算法满足线性和有界约束的是使用突变和交叉函数，只生成可行点。例如，在前面的调用中遗传算法，默认突变函数(对于无约束问题)mutationgaussian不满足线性约束等等遗传算法使用mutationadaptfeasible函数。如果您提供自定义突变函数，则该自定义函数必须仅生成相对于线性和有界约束可行的点。工具箱中的所有交叉函数生成满足线性约束和边界的点。

然而，当你的问题包含整数约束时，遗传算法强制所有迭代满足边界和线性约束。这种可行性发生在所有的变异、交叉和创建操作符，在一个小的容忍范围内。

提供一个起点

为加快求解器的速度，可以在InitialPopulationMatrix选择。遗传算法使用初始种群开始优化。指定行向量或矩阵，其中每一行表示一个起点。

X0 = [0.8 12.5];起始点(行向量)选项。InitialPopulationMatrix = X0;[x, fval] = ga (ObjectiveFunction,据nvar ,[],[],[],[], 磅,乌兰巴托,.．.ConstraintFunction选项)

单目标优化:2变量(s) 2非线性不等式约束(s)@mutationadaptfeasible Best Max Stall Generation function -count f(x) Constraint Generations 1 2500 92164.1 00 2 4950 91289.2 0.0009729 0 3 7400 91267.4 0.0009877 0 4 9850 91267.3 0.0009912 0 5 12300 91267.3 0.0009912 1优化终止:适应度值的平均变化小于选项函数容忍度和约束违背小于options. constraintolerance。

x =1×20.8122 - 12.3103

fval = 9.1267 e + 04

在这种情况下，提供一个起点并不会实质上改变求解程序的进程。

参考文献

L. C. W.迪克森和G . p。Szego (eds)。面向全局优化北荷兰:爱思唯尔科学有限公司，阿姆斯特丹，1978。