阶梯式悬臂梁设计问题

一端支承阶梯式悬臂梁，自由端施加荷载，如下图所示。金宝app梁必须能够承受给定的载荷，金宝app，在固定的距离的支持。金宝app梁的设计者可以改变梁的宽度()及身高()每个部分的。我们假设悬臂的每个部分都有相同的长度，．

梁的体积

光束的体积，，是各部分体积的总和

设计约束:1 -弯曲应力

考虑单个悬臂梁，其坐标中心在其横截面的中心在梁的自由端。某一点的弯曲应力在梁中，由下列方程给出

哪里弯矩为，距离终端负载和的距离为梁的面积惯性矩。

现在，在图中所示的阶梯悬臂梁中，梁的每个截面的最大力矩为,在那里是距离端部荷载的最大距离，，适用于梁的每个截面。因此，最大应力为-梁的第一部分，，是由

最大应力出现在梁的边缘，．面积惯性矩-梁的截面由下式给出：

代入方程给予

悬臂各部分的弯曲应力不应超过最大许用应力，．因此，我们最终可以说明五个弯曲应力约束(悬臂的每一步一个)。

设计约束:2 -端部挠度

悬臂梁的端部挠度可以用卡斯蒂利亚诺第二定理计算

哪里为梁的挠度，为由于施加的力而存储在光束中的能量，．

悬臂梁中储存的能量由下式给出

哪里作用力的力矩是在．

鉴于此对于悬臂梁，我们可以把上面的方程写成

哪里是物体的面积惯性矩-悬臂的一部分。对这个积分求值得到下面的表达式．

应用Castigliano定理，梁的端部挠度如下所示：

现在，悬臂的末端偏转，，应小于最大允许挠度，，给出了下面的约束条件。

设计约束:3 -长宽比

对于悬臂的每个步骤，纵横比不得超过最大允许的宽高比，．也就是说,

为

描述优化问题

我们现在能够陈述问题，在给定约束的情况下，找到阶梯悬臂梁的最佳参数。

允许，，，，，，，，和

最小化:

主题:

横梁的第一步只能加工到最近的厘米。也就是说,和必须是整数。其余变量是连续的。变量的界限如下所示：-

这个问题的设计参数

对于本例中要解决的问题，梁必须支撑的端荷载为金宝app．

梁长度和最大端部挠度为：

梁的每个步骤中的最大允许应力，

梁各阶的杨氏模量，

求解混合整数优化问题

我们现在解决中描述的问题描述优化问题．

定义适应度和约束函数

检查MATLAB文件cantileverVolume.m和cantileverConstraints.m查看适应度和约束函数是如何实现的。

关于线性约束的一个注记:当线性约束被指定为遗传算法，通常通过一个，b，Aeq和说真的投入。在这种情况下，我们通过非线性约束函数指定了它们。这是因为在本例的后面，一些变量将变得离散。当问题中存在离散变量时，在非线性约束函数中指定线性约束要容易得多。另一种方法是修改线性约束矩阵，使其在变换后的变量空间中工作，这不是简单的，也可能是不可能的。另外，在混合整数中遗传算法求解器中，线性约束与非线性约束没有任何区别，不管它们是如何指定的。

设定界限

创建包含下界的向量(磅)和上界约束(乌兰巴托)．

Lb = [1 30 2.4 45 2.4 45 1 30 1 30];Ub = [5 65 3.1 60 3.1 60 5 65 5 65];

设置选项

为了得到更精确的解，我们增加人口规模和MaxGenerations选项的默认值，并减少EliteCount和FunctionTolerance选项。这些设置的原因遗传算法使用更大的总体（增加的总体大小），增加设计空间的搜索（减少的EliteCount），并继续进行，直到其最佳成员的变化非常小（较小的函数公差）。我们还指定了一个绘图函数来监控惩罚函数值，如下所示：遗传算法的进展。

注意，有一个限制的集合遗传算法解决混合整数问题时可用的选项-详细信息，请参阅全局优化工具箱用户指南。

选择= optimoptions (@ga,...“PopulationSize”, 150,...“MaxGenerations”, 200,...“EliteCount”, 10,...“FunctionTolerance”1 e-8...“PlotFcn”，@gaplotbestf）；

呼叫遗传算法解决问题

我们现在可以调用遗传算法来解决这个问题。在问题陈述中和是整数变量。我们通过传递索引向量来指定它[1 2]到遗传算法在非线性约束输入之后和选项输入之前。我们还在此处播种并设置随机数生成器，以确保再现性。

rng（0，“旋风”）;[xb, fb, exitflag] = ga (@cantileverVolume 10 , [], [], [], [],...lb，ub，@悬臂约束[12]，选项）；

优化终止:超过了最大代数。

分析结果

如果问题有整数约束，遗传算法哈贝马斯在内部。特别地，问题中的适应度函数被处理约束的惩罚函数所代替。对于可行种群成员，惩罚函数与适应度函数相同。

解从遗传算法如下显示。注意，最靠近支架的部分被限制为宽度(金宝app)及身高()，它是一个整数值，该约束已被GA遵守。

显示(xb);

xbest =列1至7 3.0000 60.0000 2.8326 56.6516 2.5725 51.4445 2.2126列8至10 44.2423 1.7512 34.9805

我们也可以问遗传算法以返回光束的最佳体积。

流(“\n ga返回的代价函数=%g\n”、fb);

ga返回的成本函数=63196.6

添加离散非整数变量约束

工程师们现在被告知，悬臂的第二和第三步只能具有从标准设置中选择的宽度和高度。在本节中，我们将演示如何将此约束添加到优化问题中。请注意，添加此约束后，此问题与[1]中解决的问题相同。

首先，我们声明将添加到上述优化中的额外约束

为了解决这个问题，我们需要能够指定变量，，和作为离散变量。指定组件的步骤从集合中取离散值、优化与取值范围为1到的整型变量,并使用作为离散值。指定范围(1到)，设1为下界和作为上界。

首先，我们转换离散变量的上下限。每个集合有4个成员，我们将离散变量映射到[1,4]范围内的整数。为了把这些变量映射成整数，我们把每个变量的下界设为1上界设为4。

Lb = [1 30 1 1 1 1 1 30 1 30];Ub = [5 65 4 4 4 4 5 65 5 65];

的转换(整数)版本，，和将被传递到适应度和约束函数，当遗传算法解算器。为了正确计算这些函数，，，和需要转换为这些函数中给定的离散集合中的一个元素。要了解这是如何完成的，请检查MATLAB文件悬臂体积（含圆盘）m，cantileverConstraintsWithDisc.m和悬臂梁．

现在我们可以调用遗传算法解决离散变量的问题。在这种情况下是整数。这意味着我们传递索引向量1:6到遗传算法定义整型变量。

rng（0，“旋风”）;[xbestDisc, fbestDisc, exitflagDisc] = ga(@悬臂volumewithdisc，...10、[]，[]，[]，lb, ub， @cantileverConstraintsWithDisc, 1:6, opts);

优化终止:超过了最大代数。

分析结果

xbestDisc(三6)从遗传算法作为整数(即处于转换状态)。我们需要反向转换以检索它们的工程单元中的值。

xbestDisc = cantileverMapVariables (xbestDisc);显示(xbestDisc);

xbestDisc=第1列至第7列3.0000 60.0000 3.1000 55.0000 2.8000 50.0000 2.3036第8列至第10列43.6153 1.7509 35.0071

和以前一样，解决方案返回遗传算法尊重和都是整数。我们也可以看到，从[2.4,2.6,2.8,3.1]厘米和，从一套[45,50,55,60]厘米中选择。

回想一下，我们在变量上添加了额外的约束x (3)，x (4)，x（5）和x (6)．正如预期的那样，当这些变量有额外的离散约束时，最优解决方案具有更高的最小容量。进一步注意，在[1]中报告的解决方案的最小体积是我们找到了一个近似于[1]的解。

流(“\n ga返回的代价函数=%g\n”, fbestDisc);

由ga = 65226.5返回的成本函数

概括

此示例说明了如何使用遗传算法解算器，遗传算法，求解具有整数约束的非线性优化问题。这个例子也显示了如何处理离散变量的问题，在问题的公式化。

参考

结构设计中的离散变量优化，P.B. Thanedar, G.N. Vanderplaats, J. Struct。Eng。，121 (3), 301-306 (1995)