例: 絶対値関数

次の初期値問題について考えます。

この問題では,初期条件を $$y（0）＝1$$として,区間 $$［0，40］$$について解を求めます。この颂歌の解はゼロに減衰します。ソルバーが解として負の値を生成する場合は,この値を使用して颂歌の解の追跡が開始され,計算解が $$-\infty$$に発散すると,計算が最終的に失敗します。非负オプションを使用すると,このような積分の失敗を防ぐことができます。

ODEの求解で数值を追加オプションなしで使用した場合と,これを非负オプションを設定した場合について, $$y（t）＝e^{-t}$$の解析解との比較を行います。

Ode = @(t,y) -abs(y);%标准溶液，含|ode45|options1 = odeset (“完善”1);[t0,y0] = ode45(ode，[0 40]，1, option1);%非负约束解options2 = odeset (options1,非负的1);[t1,y1] = ode45(ode，[0 40]，1,options2);%解析解t = linspace (0, 1000);y = exp (- t);

この3つの解をプロットして比較します。解が $$-\infty$$に向かわないようにするには,非負の制約を課すことが非常に重要です。

情节(t y“b -”t0, y0,“罗”t1, y1,“k *’）;传奇(精确解的，“没有限制”，“Nonnegativity”，.．.“位置”，“西南”）

例:膝盖問題

非負の解が必要な問題のもう一つの例として,”膝盖問題”を取り上げます。この問題はサンプルファイルkneeodeにコード化されています。この方程式は次のとおりです。

この問題では,初期条件を $$y（0）＝1$$として,区間 $$［0，2］$$について解を求めます。パラメーター $$ϵ$$は通常, $$0<ϵ\ll 1$$を満たすものとされ,この問題では $$ϵ＝1\times 10^{-6}$$が使用されます。この颂歌の解は, $$x<1$$の場合は $$y＝1-x$$に近付き, $$x>1$$の場合は $$y＝0$$に近付きます。ただし,既定の許容誤差を使用して数値解を計算すると,この解は積分の全区間に対して $$y＝1-x$$のアイソクラインをなすことが示されます。非負という制約を課すと正確な解になります。

非負の制約を課す場合と課さない場合の膝盖問題の解を求めます。

ε= 1 e-6;y0 = 1;Xspan = [0 2];Odefcn = @(x,y，) ((1-x)*y - y²)/;不加限制地解决(x1, y1) = ode15s (@ (x, y) odefcn (x, y,ε)xspan, y0);%强制一个非负性约束选择= odeset (非负的1);[x2,y2] = ode15s(@(x,y) odefcn(x,y，)， xspan, y0, options);

これらの解をプロットして比較します。

情节(x1, y1,“罗”x2, y2," b *’)轴([0、2、1,1])标题(““膝盖问题””)传说(“没有限制”，“Non-negativity”)包含(“x”) ylabel (“y”）

参照

[1] Shampine, l.f.， S. Thompson, J.A. Kierzenka, G.D. Byrne，《ode的非负解》，金宝搏官方网站应用数学与计算2005年第170卷，556-569页。