解が無限に存在する線形システムの解を,バックスラッシュ(＼)とlsqminnormを使用して求めます。解の2ノルムを使用して結果を比較します。

$\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$の解が無限に存在する場合,それぞれの解が $为\mathrm{斧头}-\mathit{b}为$を最小化します。バックスラッシュコマンド(＼1)はそのような解のつを計算しますが,通常この解は $为\mathit{x}为$を最小化しません。lsqminnormにより計算される解は,规范(*取向)だけでなく规范(x)も最小化します。

1つの方程式と2つの未知数からなる単純な線形システム $2{\mathit{x}}_1+3.{\mathit{x}}_2＝8$を考えてみます。方程式の数が未知数の数より少ないため,このシステムは“劣決定“です。バックスラッシュとlsqminnormの両方を使用してこの方程式を解きます。

A = [2 3];b = 8;x_a = \ b

x_a =2×10 2.6667

x_b = lsqminnorm (A, b)

x_b =2×11.2308 - 1.8462

これらの2つの方法では求められる解が異なります。バックスラッシュは规范(*取向)を最小化するだけですが,lsqminnormは规范(x)も最小化します。これらのノルムを計算し,比較しやすいように結果を表に格納します。

s1 = {“反斜杠”；“lsqminnorm”};s2 = {“norm_Ax_minus_b”，“norm_x”};T =表([规范(A * x_a-b);规范(* x_b-b)]、[规范(x_a);规范(x_b)),“RowNames”s1,“VariableNames”s2)

T =2×2表norm_Ax_minus_b norm_x  _______________ ______ 反斜杠0 2.2188 2.6667 1.7764 lsqminnorm e15汽油

次の図はこの内容を説明するもので,それぞれの方法でどの解が返されるかを示しています。青のラインは,方程式 ${\mathit{x}}_2＝-\frac{2}{3.}{\mathit{x}}_1+\frac{8}{3.}$の解の数が無限であることを示しています。オレンジ色の丸は,原点から解のラインまでの最小距離を表します。lsqminnormが返す解はこのラインと円の接点と完全に一致します。これは,この解が原点に最も近い解であることを表します。

lsqminnormでランク計算のための許容誤差を指定すると,問題のスケールを定義して,ランダムノイズが解を破損しないようにすることができます。

ランク5の低ランク行列と,右辺のベクトルbを作成します。

rng默认的%的再现性U = randn (200 5);V = randn (100 5);= U * V ';b = U*randn(5,1) + 1e-4*randn(2000,1);

lsqminnormを使用して線形システム $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を解きます。A *取向とxのノルムを計算して,解の質を確認します。

x = lsqminnorm (A, b);规范(*取向)

ans = 0.0014

规范(x)

ans = 0.1741

次に,行列一个に少量のノイズを追加し,もう一度この線形システムを解きます。このノイズは線形システムの解ベクトルxに過剰に影響しています。

噪声= A + 1e-12*randn(200,100);xnoise = lsqminnorm(声音吵醒,b);规范(声音吵醒* xnoise - b)

ans = 0.0010

规范(xnoise)

ans = 1.1215 e + 08年

解が大きく異なる理由は,ノイズが一个の低ランク近似に影響しているためです。つまり,lsqminnormは,一个のQR分解でR行列の対角にある小さな値を実際より重要なものとして扱います。理想的には,Rの対角にある小さな値は0として扱われるべきです。

声音吵醒のQR分解でR行列の対角要素をプロットします。対角要素の多くで,次数が1平台以及です。

(Q, R, p) = qr(声音吵醒,0);semilogy (abs(诊断接头(R)),“o”）

この問題の解決方法は,lsqminnormで使用する許容誤差を大きくして,誤差が1 e-8未満の声音吵醒の低ランク近似を計算に使用することです。これにより,結果に対するノイズの影響がはるかに小さくなります。許容誤差を使用して得られる解は,元の解xに非常に近いものです。

xnoise = lsqminnorm(anise, b, 1e-8);规范(声音吵醒* xnoise - b)

ans = 0.0014

规范(xnoise)

ans = 0.1741

规范(x - xnoise)

ans = 1.0811 e-14

警告が有効になっている状態で,低ランク係数行列を含む線形システムを解きます。

ランク2の3行3列の行列を作成します。この行列で最初の2列を同時に追加すると,3列目を取得できます。

A = [1 2 3;4 5 9;6 7 13]

一个=3×31 2 3 4 5 9 6 7 13

問題 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$の最小ノルムの最小二乗解を求めます。ここで $\mathit{b}$は $\mathit{一个}$の2列目と等しくなります。lsqminnormの“警告”フラグを指定すると,一个が低ランクであることが検出された場合に警告が表示されます。

b = (:, 2);x = lsqminnorm (A, b,“警告”）

警告:Rank不足，Rank = 2, tol = 1.072041e-14。

x =3×1-0.3333 0.6667 0.3333