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20個の電子を導電体に配置する静電学問題を考えてみましょう。電子は,導電体内に存在する制約に従い,その総位置エネルギーを最小化するように自身を配置します。すべての電子は最小値で導電体の境界上にあります。電子には区別がないため,この問題には固有の最小値がありません(1つの解で電子を並べ替えれば,別の有効な解になります)。この例は,多兰,老李[1]の論文に基づきます。 この例の目的関数と非線形制約関数はすべて, この例では,以下の不等式によって定義された導電体を使用します。座標が
これらの制約は,球体の上の角錐があるような形状の導電体を形成します。導電体を表示するには,次のコードを入力します。 形状の上と下の表面の間にわずかな隙間があります。この隙間は,形状を作成するために使用された一般的なプロットルーチンの人工物です。このルーチンは,他の面に触れる1面上の四角形の領域を消去します。 この問題では20個の電子を使用します。制約によって この問題には2種類の制約があります。1つ目は、球面制約であり、各電子に対して別々に適用される単純な多項不等式です。この球面制約を定義します。 上記の制約コマンドによって,10個の制約のベクトルが作成されます。 問題の2つ目の制約のタイプは線形です。線形制約はさまざまな方法で表現できます。たとえば,関数 目的関数はシステムの位置エネルギーです。これは,各電子ペアの距離の逆数の合計です。
目的関数を最適化式として定義します。良好なパフォーマンスを得るために,目的関数をベクトル化された形式で記述します。詳細は, [0, 0, 1]でセンタリングされた半径1/2の球上で無作為に分布された電子で最適化を開始します。 解を導電体に点としてプロットします。 電子は制約境界上に非常に均等に分布しています。多くの電子がエッジと角錐の頂点に位置します。 [1] Dolan, Elizabeth D., Jorge J. Moré和Todd S. Munson。cops3.0基准优化软件。阿贡国家实验室技术报告ANL/MCS-TM-273, 2004年2月。問題の幾何形状
(X, Y) = meshgrid (1: .01:1);Z1 = -abs(X) -abs(Y);Z2 = -1 -根号(1 - x ^2 - y ^2)Z2 =实际(Z2);W1 = Z1;W2 = Z2;W1(Z1 < Z2) = nan;
問題の変数の定義
N = 20;x = optimvar (
制約の定義
elecprob.Constraints.spherec = (x ^ 2 + y ^ 2 + (z + 1)。^ 2)< = 1;
显示(elecprob.Constraints.spherec)
((x ^ 2 + y ^ 2) + (z + 1)。^ 2)< = arg_RHS地点:最长= 1;__arg1 =最长的(20));arg_RHS = __arg1 (:);
elecprob.Constraints。平面1 = z <= -x-y;elecprob.Constraints。Plane2 = z <= -x+y;elecprob.Constraints。Plane3 = z <= x-y;elecprob.Constraints。Plane4 = z <= x+y;
目的関数の定義
能量= optimexpr (1);
最適化の実行
rng
解决
[溶胶,fval exitflag、输出]=解决(elecprob init)
使用fmincon解决问题。找到满足约束条件的局部最小值。优化完成是因为目标函数在可行方向上不减小到最优性公差的值内,约束条件满足到约束公差的值内。
索尔=
fval = 163.0099
exitflag = OptimalSolution
输出=
解の表示
图(手)plot3 (sol.x、sol.y sol.z,
参考文献
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