ソルバーが最小の最小値を見つけられない理由

一般的に,ソルバーは局所的最小値(または最適解)を返します。結果が大域的最小値(または最適解)である可能性はありますが,この結果は保証されません。

优化工具箱™のソルバーは通常,局所的最小値を探索します(この局所的最小値は大域的最小値であるかもしれません)。ソルバーは開始点の“引き込み領域”内で最小値を見つけます。引き込み領域については,引き込み領域を参照してください。

以下は,この一般的な規則の例外です。

より小さい最小値の検索

大域的最小値が必要な場合,大域的最小値が含まれている引き込み領域内でソルバーの開始値を検索しなければなりません。

以下のように,開始値を設定して大域的最小値を検索できます。

ある程度初期点が予測できる場合は,範囲を狭くすることでうまく探索することができます。

引き込み領域

目的関数f (x)が滑らかな場合,ベクトル——∇f (x)はf (x)が最も急激に減少する方向を示します。最急降下の式は以下のようになります。

これはtが増加するにつれて,局所的最小値へ到達する経路x (t)を導きます。一般的に,開始値x (0)に近い値は最急降下経路に沿って同じ最小値を求める傾向があります。最急降下法の引き込み領域は,同じ局所的最小値に導く開始値の集合です。

この図は1次元上の2個の最小値を示します。図は,異なる引き込み領域を別々のラインスタイルで示し,最急降下の方向を矢印で示します。この図と次の図の黒い点は,ローカルな最小値を示します。点x (0)で始まる最急降下経路は,x (0)を含む引き込み領域の黒い点に向かいます。

この図は,高次元になると最急降下の経路がより複雑になる可能性があることを示します。

この図はより複雑な経路と引き込み領域を示します。

制約は1つの引き込み領域をいくつかの断片に分割することがあります。たとえばyの最小化を考えてみましょう。

x y≥| |

Y≥5 - 4(x-2)²．

この図は最終点をもつ2つの引き込み領域を示します。

図を生成するコード

Myabs = @(x) abs(x)Mycurve = @(x) 5 - 4.*(x-2).²;Myline = @(x) max(myabs(x)，mycurve(x));Mybrdr = @(x) 1 + heaviside(x-2);Myarea = @(x,y) heaviside(y - myline(x)).*mybrdr(x);/myarea(x,y); /myarea(x,y); /myarea(x,y)%删除不可行区域图(0,0，'k.'，' marksize '，25，'LineWidth'，2);hold on grid on plot(11/4,11/4，'k.'，' marksize '，25，'LineWidth'，2);fplot (mycurve、“k”。fplot(myline，[-2 5]，'k'，'LineWidth'，2) fsurf(marinv，[-2 5 -1,6]，'EdgeColor'，'none'，'FaceAlpha'，0.5) colormap jet . fplot(myline，[-2 5]，'k'，'LineWidth'，2) colormap jet

最急降下経路は制約境界までの直線です。制約境界から,最急降下経路は境界に沿って下に移動します。初期のx値が2の上か下にあるかで異なりますが,最終点は(0,0)または(11/4 11/4)のどちらかです。