MEMS设备

MEMS器件通常由高纵横比的可移动细束或电极组成，这些细束或电极悬浮在固定电极上。

驱动、开关等信号和信息处理功能可以利用在活动电极和固定电极之间施加电压引起的电极变形。FEM为表征MEMS器件的内部工作特性提供了一种方便的工具，可以预测温度、应力、动态响应特性和可能的失效机制。最常见的MEMS开关之一是悬挂在地电极上的一系列悬臂梁。

本例使用以下几何图形来建模MEMS开关。顶部电极长150 μm，厚2 μm。杨氏模量E为170 GPa，泊松比υ为0.34。底部电极长50 μm，厚2 μm，距顶部电极最左端100 μm。上下电极间距为2 μm。

施加在顶部电极和接地面之间的电压在导体表面诱导静电电荷，反过来，导致静电力正常作用于导体表面。由于地平面是固定的，静电力只使顶部电极变形。当光束变形时，电荷在导体表面重新分布。所产生的静电力和梁的变形也会发生变化。这个过程一直持续到系统达到平衡状态。

耦合机电分析方法

为了简单起见，本例使用基于松弛的算法而不是牛顿方法来耦合静电和力学域。该示例遵循以下步骤:

1.求解恒势非变形几何结构中的静电有限元问题半在可动电极上。

2.利用沿活动电极电荷密度的计算值，计算力学解的负载和边界条件。可动电极上的静电压力为

$$P＝\frac{1}{2ϵ}|D{|}^2$$，

在哪里 $$|D|$$电流密度的大小和 $$ϵ$$是活动电极旁边的电介电常数。

3.通过求解力学有限元计算可动电极的变形。

4.通过计算出的移动电极位移，更新沿移动电极的电荷密度，

在哪里 $$|D_{def}（x）|$$为变形电极中的电通量密度的大小， $$|D_0（x）|$$为未变形电极中的电通量密度的大小， $$G$$活动电极和固定电极之间的距离在没有驱动时，和 $$v（x）$$是活动电极在x位置沿其轴的位移。

5.重复步骤2-4，直到最后两次迭代中的电极变形值收敛。

静电分析

在本例的静电分析部分，计算电极周围的电势。

首先，使用构造实体几何(CSG)建模方法创建悬臂开关几何。静电分析的几何结构由三个用矩阵表示的矩形组成。矩阵的每一列描述了一个基本形状。

rect_domain =[3、4、1.75的军医,军医1.75,-1.75的军医,军医-1.75,-1.7 e-5 1.3 e-5 1.3 e-5 -1.7 e-5] ';rect_movable = [e-5 e-5 3 4 7.5, 7.5, -7.5 e-5 -7.5 e-5 2.0 e-6 4.0 e-6 4.0 e-6 2.0 e-6] ';rect_fixed = [e-5 e-5 3 4 7.5, 7.5, 2.5 e-5 2.5 e-5 -2.0 e-6, 0, 0, -2.0 e-6] ';Gd = [rect_domain,rect_movable,rect_fixed];

为每个基本形状创建一个名称。将名称指定为一个矩阵，其列包含基本形状矩阵中相应列的名称。

Ns = char(“rect_domain”，“rect_movable”，“rect_fixed”）;Ns = Ns ';

创建一个描述基本形状的并和交的公式。

科幻小说=“rect_domain (rect_movable + rect_fixed)”；

控件创建几何图形decsg函数。

Dl = decsg(gd,sf,ns);

创建PDE模型，并将几何图形包含在模型中。

模型= createpde;geometryFromEdges(模型、dl);

画出几何图形。

pdegplot(模型,“EdgeLabels”，“上”，“FaceLabels”，“上”)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-2e-4, 2e-4，-4e-5, 4e-5]广场

该几何图形中的边数如下:

移动电极设置恒定电势值20v，固定电极和域边界设置恒定电势值0v。

V0 = 0;V1 = 20;applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，“边缘”,(4、8、9、10)“u”V0);applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，“边缘”,(1、2、5、6),“u”V0);applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，“边缘”,(3、7、11、12),“u”V1);

控制这个问题的偏微分方程是泊松方程，

$$-\nabla \cdot （ϵ\nabla V）＝\rho$$，

在哪里 $ϵ$介电常数系数和 $$\rho$$是电荷密度。在本例中，只要介电常数不变，介电常数就不会影响结果。假设域中没有电荷，你可以将泊松方程简化为拉普拉斯方程，

$$\Delta V＝0$$．

指定系数。

specifyCoefficients(模型,“米”，0，' d '，0，“c”, 1“一个”，0，“f”, 0);

生成相对较细的网格。

Hmax = 5e-6;generateMesh(模型,“Hmax”, hmax);pdeplot(模型)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-2e-4, 2e-4，-4e-5, 4e-5]广场

求解模型。

结果= solvepde(模型);

画出外部区域的电势。

u = results. nodesolution;图pdeplot(模型,“XYData”,结果。NodalSolution,.．.“ColorMap”，“喷气机”）;标题(的电势）;包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-2e-4, 2e-4，-4e-5, 4e-5]广场

粒度分析

在本例的力学分析部分，计算了可动电极的变形。

创建一个结构模型。

Structuralmodel = createpde(“结构”，“static-planestress”）;

创建可移动电极几何图形，并将其包含在模型中。画出几何图形。

Dl = decsg(rect_movable);geometryFromEdges (structuralmodel dl);pdegplot (structuralmodel“EdgeLabels”，“上”)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-1e-4, 1e-4，-1e-5, 1e-5]广场

指定结构性质:杨氏模量 $$E$$是170 GPa和泊松比吗 $$\nu$$是0.34。

structuralProperties (structuralmodel“YoungsModulus”170 e9,.．.“PoissonsRatio”, 0.34);

指定压力作为边缘上的边界载荷。无论表面电荷的符号如何，压力倾向于将导体拉入电场。的定义CalculateElectrostaticPressure功能,请参阅静电压力函数．

pressureFcn = @(位置，状态)-.．.CalculateElectrostaticPressure(结果,[],位置);structuralBoundaryLoad (structuralmodel“边缘”(1、2、4),.．.“压力”pressureFcn,.．.矢量化的，“上”）;

指定可动电极固定在边缘3处。

structuralBC (structuralmodel“边缘”，3，“约束”，“固定”）;

生成一个网格。

Hmax = 1e-6;generateMesh (structuralmodel“Hmax”, hmax);pdeplot (structuralmodel);包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-1e-4, 1e-4，-1e-5, 1e-5]广场

解方程。

R = solve(结构模型);

画出活动电极的位移。

pdeplot (structuralmodel“XYData”, R。VonMisesStress,.．.“变形”, R。Displacement,.．.“DeformationScaleFactor”10.．.“ColorMap”，“喷气机”）;标题(偏转电极中的冯·米塞斯应力)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-1e-4, 1e-4，-1e-5, 1e-5]广场

求最大位移。

maxdisp = max(abs(R.Displacement.uy));流('有限元最大尖端挠度为:%12.4e\n', maxdisp);

有限元最大尖偏转为:1.5630e-07

沿着活动电极反复更新电荷密度，求解模型，直到电极变形值收敛。

Olddisp = 0;而Abs ((maxdisp-olddisp)/maxdisp) > 1e-10%施加边界条件pressureFcn = @(位置，状态)-.．.计算静电压力(结果，R，位置);bl = structuralBoundaryLoad(结构模型，“边缘”(1、2、4),.．.“压力”pressureFcn,.．.矢量化的，“上”）;解方程R = solve(结构模型);Olddisp = maxdisp;maxdisp = max(abs(R.Displacement.uy));删除(提单)结束

画出位移。

pdeplot (structuralmodel“XYData”, R。VonMisesStress,.．.“变形”, R。Displacement,.．.“DeformationScaleFactor”10.．.“ColorMap”，“喷气机”）;标题(偏转电极中的冯·米塞斯应力)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-1e-4, 1e-4，-1e-5, 1e-5]广场

求最大位移。

maxdisp = max(abs(R.Displacement.uy));流('有限元最大尖端挠度为:%12.4e\n', maxdisp);

有限元最大尖偏转为:1.8162e-07

参考文献

[1]苏曼特，P. S.， N. R.阿鲁，A. C.坎格拉里斯。静电驱动MEMS的快速有限元建模方法国际工程数值方法杂志。77卷，13号，2009,1789-1808。

静电压力函数

可动电极上的静电压力为

$$P＝\frac{1}{2ϵ}|D{|}^2$$，

在哪里 $$|D|＝ϵ|E|$$是电通量密度的大小， $$ϵ$$介电常数是否在可动电极旁边 $\left|\mathit{E}\right|$是电场的大小。电场 $\mathit{E}$电势的梯度是多少 $\mathit{V}$：

$\mathit{E}＝-\nabla \mathit{V}$．

通过力学有限元分析计算可动电极的变形。利用计算出的移动电极位移，更新沿移动电极的电荷密度。

在哪里 $$|D_{def}（x）|$$为变形电极中的电通量密度的大小， $$|D_0（x）|$$为未变形电极中的电通量密度的大小， $$G$$活动电极和固定电极之间的距离在没有驱动时，和 $$v（x）$$移动电极在位置上是否有位移x沿着它的轴。最初，活动电极没有变形， $$v（x）＝0$$，因此， $\left|{\mathit{D}}_{\mathrm{def}}（\mathit{x}）\right|\approx \left|{\mathit{D}}_0（\mathit{x}）\right|$．

函数ePressure =.．.CalculateElectrostaticPressure (elecResults structResults,位置)计算静电压力的函数。structuralBoundaryLoad用于指定压力负载%移动电极。%的输入:% elecResults:静电有限元分析结果% strucresults:力学有限元分析结果(可选)%位置:得到压力的x,y坐标％%输出:% ePressure:所在位置的静电压力％%的位置。x：The x-coordinate of the points%的位置。y:点的y坐标Xq = location.x;Yq = location.y;根据电势计算出电场的大小%的差异。[gradx,grady] = evaluateGradient(elecResults,xq,yq);absE =根号(gradx。^2 + grady.^2);真空的介电常数为8.854*10^-12法拉/米。Epsilon0 = 8.854e-12;计算电通量密度的大小。absD0 = epsilon0*absE;absD = absD0;%如果structResults(变形)可用，%更新沿可移动电极的电荷密度。如果~ isempty (structResults)%移动电极在x位置的位移intrpDisp = interpolateDisplacement(structResults,xq,yq);vdisp = abs(intrpDisp.uy);G = 2e-6;%缝隙2微米absD = absD0.*G./(G-vdisp);结束%计算静电压力。ePressure = absD.^2/(2*epsilon0);结束