薄板中的非线性传热

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这个例子演示了如何对薄板进行传热分析。

板是正方形，温度沿底部边缘固定。没有热量从其他三个边缘转移（即它们是绝缘的）。通过对流和辐射从板的顶面和底面转移热量。因为包括辐射，问题是非线性的。该示例的一个目的是展示如何处理PDE问题中的非线性。

执行稳定状态和瞬态分析。在稳态分析中，我们对达到平衡状态后，我们对板中不同点的最终温度感兴趣。在瞬态分析中，我们对板中的温度感兴趣的是时间。这种瞬态分析可以回答的一个问题是板材达到平衡温度需要多长时间。

板的传热方程

该板的平面尺寸一米一米，厚1厘米。由于与平面尺寸相比，板相对较薄，因此可以在厚度方向上恒定地恒定温度;产生的问题是2D。

假设在给定的环境温度下，板的两面之间发生对流和辐射传热。

由于对流从每个板面在单位面积内传递的热量定义为

$问_{c} ＝ h_{c} （ T - T_{一个} ）$

在哪里 $T_{一个}$ 是环境温度， $T$ 温度是在板表面特定的x和y位置吗 $h_{c}$ 是指定的对流系数。

在单位面积内，由于辐射从每个板面传递的热量定义为

$问_{r} ＝ ε. σ. （ T^{4} - T_{一个}^{4} ）$

在哪里 $ε.$ 是脸的辐射率和 $σ.$ 是斯特凡 - 博尔兹曼常数。因为由于辐射引起的热量与表面温度的第四功率成比例，所以问题是非线性的。

描述薄板温度的偏微分方程为

$ρ C_{p} t_{z} \frac{\partial T}{\partial t} - k t_{z} \nabla^{2} T + 2 问_{c} + 2 问_{r} ＝ 0$

在哪里 $ρ$ 是材料密度， $C_{p}$ 为比热， $t_{z}$ 为板厚，这两个因素决定了从板两面的传热。

用PDE工具箱所期望的形式重写这个方程是很方便的

$ρ C_{p} t_{z} \frac{\partial T}{\partial t} - k t_{z} \nabla^{2} T + 2 h_{c} T + 2 ε. σ. T^{4} ＝ 2 h_{c} T_{一个} + 2 ε. σ. T_{一个}^{4}$

问题的设置

该板由铜组成，铜具有以下特性:

k = 400;铜热导率%，W/(m-K)ρ= 8960;%铜密度，kg/m^3cirecicicheat = 386;铜比热% J/(kg-K)厚= . 01;％板厚度为米Stefanboltz = 5.670373e-8;% Stefan-Boltzmann常数，W/(m^2-K^4)hCoeff = 1;%对流系数W/(m^2-K)假定环境温度为300开氏度。ta = 300;Emiss = .5;板面发射率%

使用单个相关变量创建PDE模型。

numberofpde = 1;model = createpde（numberofpde）;

对于一个正方形，几何和网格很容易定义如下所示。

宽度= 1;高度= 1;

通过给出4个X型位置后，定义正方形，然后给出角落的4 y位置。

GDM = [3 4 0宽度宽度0 0 0高度]';g = decsg（gdm，“S1 '，（“S1 ') ');

将DECSG几何图形转换为几何对象，这样它就会被附加到PDEModel中

几何汇编（型号，g）;

绘制几何形状并显示边缘标签以用于边界条件定义。

图;pdegplot（模型，'Edgelabels'，“上”）;轴（[ - 。1 1.1 -.1 1.1]）;标题“显示边缘标签的几何图形”；

图中包含一个轴对象。标题为“显示几何边缘标签”的轴对象包含5个类型为行、文本的对象。

指定系数。通过在PDE工具箱文档中的标量抛物线方程比较上面的方程来容易地识别PDE工具箱所需的系数表达式。

c =厚* k;

由于辐射边界条件，“a”系数是温度u的函数，将其定义为MATLAB表达式，以便在分析时对不同的u值进行计算。

a = @(~，state) 2*hCoeff + 2* miss*stefanBoltz*state.u.^3;f = 2*hCoeff*ta + 2* miss*stefanBoltz*ta^4;d = *ρ* specificHeat厚;specifyCoefficients(模型,'M'，0，' d '，0，“c”，C，“一个”，一种，“f”f);

板的底部边缘设定为1000度 - 开尔文。

应用边界条件。三个板边缘是绝缘的。由于Neumann边界条件等于零是有限元制定中的默认值，因此不需要明确地设置这些边的边界条件。在底部边缘，边缘1上的所有节点上设置了Dirichlet条件，

ApplyBoundaryCondition（模型，“边界条件”，“边缘”，1，“u”，1000）;

指定最初的猜测。

setInitialConditions(模型中,0);

在正方形上创建三角形网格，每个方向大约有10个元素。

hmax = 1;％元素大小msh = generateMesh(模型,'hmax'，hmax）;图;pdeplot（模型）;轴平等的标题“带有三角形网格元素的板”XLabel.“x坐标,米”ylabel“坐标,米”

图中包含一个轴对象。标题为“Plate with triangle Element Mesh”的轴对象包含2个线型对象。

稳态解

因为a和f系数是温度的函数(由于辐射边界条件)，solvepde自动选取非线性求解器求解。

R = solvepde(模型);u = R.NodalSolution;图;pdeplot（模型，'xydata'，你，'轮廓'，“上”，'colormap'，“喷气机”）;标题“板内温度，稳态溶液”XLabel.“x坐标,米”ylabel“坐标,米”轴平等的

图中包含一个轴对象。板上具有标题温度的轴对象，稳态溶液含有12个类型的贴片物体，线。

p = msh.Nodes;plotAlongY (p, u, 0);标题“温度作为y坐标的函数”XLabel.“坐标,米”ylabel的温度,开尔文

图中包含一个轴对象。具有标题温度的轴对象作为Y坐标的函数的轴对象包含了类型线的对象。

流(['板上边缘的温度='.．.' % 5.1 f degrees-K \ n”]，U（4））;

板块顶部边缘的温度= 449.8度k

临时的解决方案

包括d系数。

specifyCoefficients(模型,'M'，0，' d '，d，“c”，C，“一个”，一种，“f”f);endTime = 5000;tlist = 0:50: endTime;numNodes =大小(p, 2);

将所有节点的初始温度设置为环境，300K。

U0（1：numnodes）= 300;

将底边E1的初始温度设置为常数BC的值，即1000k。

SetInitialConditions（型号，1000，“边缘”，1）;

设置下列求解器选项。

model.SolverOptions.RelativeTolerance = 1.0 e - 3;model.SolverOptions.AbsoluteTolerance = 1.0的军医;

用实际行动解决问题solvepde．求解器自动选择抛物线求解器来获得解。

R = solvepde(模型、tlist);u = R.NodalSolution;图;:情节(tlist u (3));网格在标题[“沿顶部边缘的温度”.．."盘子是时间的函数"]XLabel.“时间,秒”ylabel的温度,开尔文图;pdeplot（模型，'xydata'u(:,结束),'轮廓'，“上”，'colormap'，“喷气机”）;标题（Sprintf（[《盘子里的温度》.．.'瞬态解(%d秒)\n']，tlist（1，端）））;XLabel.“x坐标,米”ylabel“坐标,米”轴平等的；流(['\nTemperature at the top edge(t = %5.1f secs) = '.．.' % 5.1 f degrees-K \ n”), tlist(结束),u (4));

图中包含一个轴对象。标题为['Temperature Along The Top Edge of '的轴对象包含一个类型为line的对象。

图中包含一个轴对象。板块的轴对象在板中具有标题温度，瞬态溶液（5000秒）包含12个类型的贴片物体，线。

顶部边缘温度（T = 5000.0秒）= 441.8度-K

总结

在结束时间的稳态和瞬态溶液中板中的温度的曲线块非常接近。也就是说，在大约5000秒之后，瞬态解决方案已达到稳态值。从板的顶部边缘的两个溶液的温度同意在一个百分比内。金宝搏官方网站

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