方域的波动方程

这个例子演示了如何用solvepde函数。

标准的二阶波动方程是

$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot \nabla u ＝ 0 ．$

要用工具箱的形式表达这一点，请注意solvepde函数解决了表单的问题

$米 \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot （ c \nabla u ） + 一个 u ＝ f ．$

标准波动方程有系数 $米＝ 1$ ， $c ＝ 1$ ， $一个＝ 0$ , $f ＝ 0$ ．

c = 1;= 0;f = 0;m = 1;

在方形域上解决问题。的squareg函数描述这个几何图形。创建一个模型对象，并包括几何体。绘制几何图形并查看边缘标签。

numberOfPDE = 1;模型= createpde (numberOfPDE);geometryFromEdges(模型、@squareg);pdegplot(模型,“EdgeLabels”，“上”）;ylim ([-1.1 - 1.1]);轴平等的标题“显示边缘标签的几何图形”；包含xylabely

图中包含一个坐标轴。标题为“显示几何边缘标签”的轴包含5个类型为行、文本的对象。

指定PDE系数。

specifyCoefficients(模型,“米”米,' d '，0，“c”c“一个”一个,“f”f);

左边(边4)和右边(边2)的Dirichlet边界条件设为零，上边(边1)和下边(边3)的Neumann边界条件设为零。

applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，“边缘”(2、4),“u”, 0);applyBoundaryCondition(模型,“纽曼”，“边缘”3 ([1]),‘g’, 0);

创建并查看问题的有限元网格。

generateMesh(模型);图pdemesh(模型);ylim ([-1.1 - 1.1]);轴平等的包含xylabely

图中包含一个坐标轴。轴线包含2个线型对象。

设置初始条件:

$u （ x ， 0 ）＝反正切（因为（ \frac{π x}{2} ））$ ．
${\frac{\partial u}{\partial t} |}_{t ＝ 0} ＝ 3. 罪（ π x ）经验值（罪（ \frac{π y}{2} ））$ ．

U0 = @(location) atan(cos(pi/2*location.x)); / /位置Ut0 = @(location) 3*sin(pi*location.x).*exp(sin(pi/2*location.y));setInitialConditions(模型、情况ut0);

这种选择避免了将能量放入更高的振动模式，并允许一个合理的时间步长。

指定解乘以31个从0到5等间距的时间点。

n = 31;tlist = linspace (0 5 n);

设置SolverOptions。ReportStatistics的模型来“上”．

model.SolverOptions.ReportStatistics =“上”；结果= solvepde(模型、tlist);

459个成功的步骤39个失败的尝试998个函数计算1个偏导数115个LU分解997个线性系统的解金宝搏官方网站

u = result.NodalSolution;

创建一个动画来可视化所有时间步骤的解决方案。保持一个固定的垂直比例尺，首先计算的最大值和最小值u在所有时间，缩放所有的地块来使用这些 $z$ 设在限制。

图umax = max(max(u));umin = min (min (u));为I = 1:n pdeplot(模型，“XYData”u(:,我),“ZData”u(:,我),“ZStyle”，“连续”，“网”，“关闭”）;轴([-1 1 -1 1 umin umax]);caxis ([umin umax]);包含xylabelyzlabeluM (i) = getframe;结束

图中包含一个坐标轴。坐标轴包含一个patch类型的对象。

要播放动画，请使用电影(M)命令。

偏微分方程工具箱文档

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