曲線近似と分布近似

この例では,曲線近似と分布近似を実行する方法を示し,どのような場合にこれらの手法が適しているかについて説明します。

曲線近似と分布近似の選択

曲線近似と分布近似は，異なるタ。

曲線近似は，応答変数を予測子変数の関数としてモデル化する場合に使用します。
分布近似は，単一変数の確率分布をモデル化する場合に使用します。

曲線近似

以下の実験デ，タでは，予測子変数は，薬物の摂取後の時間时间です。応答変数は，血流中の薬物濃度浓缩的です。応答デ，タ浓缩的のみが実験誤差の影響を受けると仮定します。

时间= [0.1 0.1 0.3 0.3 1.3 1.7 2.1 2.6 3.9 3.9 ..．.5.1 5.6 6.2 6.4 7.7 8.1 8.2 8.9 9.0 9.5.．.9.6 10.2 10.3 10.8 11.2 11.2 11.2 11.2 11.7 12.1 12.3.．.12.3 13.1 13.2 13.4 13.7 14.0 14.3 15.4 16.1 16.1.．.16.4 16.4 16.7 16.7 17.5 17.6 18.1 18.5 19.3 19.7]';Conc = [0.01 0.08 0.13 0.16 0.55 0.90 1.11 1.62 1.79 1.59 ..．.1.83 1.68 2.09 2.17 2.66 2.08 2.26 1.65 1.70 2.39.．.2.08 2.02 1.65 1.96 1.91 1.30 1.62 1.57 1.32 1.56.．.1.36 1.05 1.29 1.32 1.20 1.10 0.88 0.63 0.69 0.69.．.0.49 0.53 0.42 0.48 0.41 0.27 0.36 0.33 0.17 0.20]';

血中濃度を時間の関数としてモデル化したいとします。浓缩的を时间に対してプロットします。

情节(时间、浓缩的“o”）;包含(“时间”）;ylabel (的血药浓度）;

图中包含一个轴。坐标轴包含一个line类型的对象。

浓缩的は时间の関数として2パラメタのワブル曲線に従うと仮定します。ワブル曲線には，次の形状とパラメタがあります。

$y ＝ c （ x / 一个）^{（ b - 1 ）} e^{- （ x / 一个）^{b}},$

ここで， $一个$ は水平方向のスケ，リング， $b$ は形状パラメタ， $c$ は垂直方向のスケ，リングです。

非線形最小二乗法を使用して，ワ。

modelFun = @ (p, x) p (3) . * (x / p (1)) ^ (p(2) 1)。* exp (- (x / p(1)) ^(2)页);startingVals = [10 2 5];nlModel = fitnlm(time,conc,modelFun,startingVals);

ワ▪▪ブル曲線をデ▪▪タ上にプロットします。

Xgrid = linspace(0,20,100)';线(xgrid预测(nlModel xgrid),“颜色”,“r”）;

图中包含一个轴。坐标轴包含2个line类型的对象。

あてはめたワ@ @ブルモデルには問題があります。fitnlmは，実験誤差が加法的であり，一定している分散をも対称的な分布に由来すると仮定します。しかし，散布図には，誤差分散が曲線の高さに比例することが示されています。さらに，誤差が加法的か対称的であると，負の血中濃度測定値が可能になります。

乗法的誤差が対数スケ，ルで対称的であると仮定する方が現実的です。この仮定に基づき，両辺の対数をとって，ワ。非線形最小二乗法を使用して曲線をあてはめます。

$日志（ y ）＝日志（ c ） + （ b - 1 ）日志（ x / 一个） - （ x / 一个）^{b} ．$

nlModel2 = fitnlm(time,log(conc)，@(p,x) log(modelFun(p,x))，startingVals);

新しい曲線を既存のプロットに追加します。

线(xgrid exp(预测(nlModel2 xgrid)),“颜色”，[0 .5 0]，“线型”,“——”）;传奇({“原始数据”,“附加误差模型”,“乘法误差模型”})；

图中包含一个轴。坐标轴包含3个line类型的对象。这些对象代表原始数据、加性误差模型、乘性误差模型。

モデルオブジェクトnlModel2には，精度の推定値が含まれています。モデルの適合度をチェックすることをお勧めします。たとえば，対数スケール上に残差をプロットして、乗法的誤差の分散が一定であるという仮定をチェックします。

この例では，乗法的誤差モデルを使用しても，モデルの予測にはほとんど影響がありません。モデルのタ化学键プによる影響が大きい例に化学键いては，線形性への変換による非線形モデルの近似の注意点を参照してください。

曲線近似のための関数

统计和机器学习工具箱™には,モデルをあてはめるための関数として,非線形最小二乗モデル用のfitnlm，一般化線形モデル用のfitglm，ガウス過程回帰モデル用のfitrgp，サポ，トベクタ，マシン回帰モデル用のfitrsvmが含まれています。
曲线拟合工具箱™には,曲線近似のタスクを単純化するコマンドラインツールおよびグラフィカルツールが用意されています。たとえば,さまざまなモデルに対する開始係数値の自動選択や,堅牢でノンパラメトリックな近似法が用意されています。
优化工具箱™には,係数に制約があるモデルの解析など,複雑なタイプの曲線近似解析を実行するための関数があります。
Matlab®関数polyfitは多項式モデルをあてはめます。Matlab関数fminsearchは他の種類の曲線近似に役立ます。

分布近似

電気部品の寿命の分布をモデル化したいとします。変数生活は，同じ電気部品50個が故障するまでの時間の測定値です。

生命= [6.2 16.1 16.3 19.0 12.2 8.1 8.8 5.9 7.3 8.2 ..．.16.1 12.8 9.8 11.3 5.1 10.8 6.7 1.2 8.3 2.3.．.4.3 2.9 14.8 4.6 3.1 13.6 14.5 5.2 5.7 6.5 ..．.5.3 6.4 3.5 11.4 9.3 12.4 18.3 15.9 4.0 10.4 ..．.8.7 3.0 12.1 3.9 6.5 3.4 8.5 0.9 9.9 7.9]';

ヒストグラムでデ，タを可視化します。

binWidth = 2;lastVal = ceil(max(life));binEdges = 0:binWidth:lastVal+1;h =直方图(life,binEdges);包含(“失败的时刻”）;ylabel (“频率”）;ylim ([0 10]);

图中包含一个轴。坐标轴包含一个直方图类型的对象。

多くの場合に寿命データはワイブル分布に従うので,1つのアプローチとして,前述した曲線近似の例のワイブル曲線をヒストグラムにあてはめることが考えられます。このアプローチを試すには,ヒストグラムを一連の点(x, y)に変換してから,曲線をこれらの点にあてはめます。ここでxはビンの中心yはビンの高さです。

counts = histcounts(life,binEdges);binCtrs = binEdges(1:end-1) + binWidth/2;h.FaceColor = [.]9 .9 .9];持有在情节(binCtrs计数,“o”）;持有从

图中包含一个轴。坐标轴包含2个直方图类型的对象，直线。

ただし，曲線をヒストグラムにあてはめることには問題があり，通常は推奨されません。

このプロセスは，最小二乗近似の基本的な仮定に反しています。ビンの個数は非負なので，測定誤差は対称的にはなりません。また，分布の裾と中央ではビンの個数の変動性が異なります。そして，ビンの個数は，合計が一定なので，独立した測定値ではありません
ヒストグラムは経験的確率密度関数(pdf)をスケーリングしたバージョンなので,ワイブル曲線をバーの高さにあてはめる場合,曲線を制約しなければなりません。
連続的なデ，タの場合，デ，タではなくヒストグラムに曲線をあてはめると，情報が失われます。
ヒストグラムのバ，の高さは，ビンのエッジと幅の選択に依存します。

多くのパラメトリック分布の場合,これらの問題が回避されるので,パラメーターの推定には最尤法の方が優れています。ワaapl . exeブルPDFの形状は，ワaapl . exeブル曲線とほとんど同じです。

$y ＝（ b / 一个）（ x / 一个）^{（ b - 1 ）} e^{- （ x / 一个）^{b}} ．$

ただし，この関数を積分すると1になる必要があるので，スケ，ルパラメ，タ， $c$ は $b / 一个$ に置き換えられています。最尤法を使用してワブル分布をデタにあてはめるには，fitdistを使用し，分布名として“威布尔”を指定します。最小二乗法と異なり,最尤法では,pdfとバーの高さとの差分二乗和を最小化せずに,スケーリングされたヒストグラムに最も一致するワイブルpdfを求めます。

Pd = fitdist(生命，“威布尔”）;

デ，タのスケ，リングされたヒストグラムをプロットし，あてはめたPDFを重ね合わせます。

h =直方图(life,binEdges，“归一化”,“pdf”,“FaceColor”,(。9 .9 .9]);包含(“失败的时刻”）;ylabel (的概率密度）;ylim (0.1 [0]);Xgrid = linspace(0,20,100)';pdfEst = pdf(pd,xgrid);线(xgrid, pdf)

图中包含一个轴。坐标轴包含2个直方图类型的对象，直线。

モデルの適合度をチェックすることをお勧めします。

通常は曲線をヒストグラムにあてはめることは推奨されませんが,このプロセスが適しているケースもあります。たとえば，カスタム一変量分布の近似を参照してください。

分布近似のための関数

统计和机器学习工具箱™には,確率分布オブジェクトをデータにあてはめる関数fitdistが含まれています。また、最尤法を使用してパラメトリック分布をあてはめるための専用の近似関数(wblfitなど)，専用の近似関数がないカスタム分布をあてはめるための関数大中型企业，ノンパラメトリック分布モデルをデ，タにあてはめるための関数ksdensityも含まれています。
统计和机器学习工具箱には分布更健康アプリもあります。このルは，可視化や診断プロットの生成など，分布近似における多くの作業を単純化します。
优化工具箱™の関数を使用すると,パラメーターに制約がある分布など,複雑な分布をあてはめることができます。
Matlab®関数fminsearchは，最尤法による分布近似を提供します。

参考

曲線近似と分布近似