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多重子ANOVA.

多重子ANOVA.の紹介

関数Anovan.を使用すると、多重子ANOVA.を実行できます。一連のデータの平均が複数因子のグループ (レベル) に関して異なるかどうかを判別するには、多因子 ANOVA を使用します。既定の設定では、Anovan.ははすべてのグループグループ変固定效果として扱います変固定效果があるあるある例についてははの效果がについてについてははの例例については変量効果のある分散分析 (ANOVA)を参照してください。反復測定については、Fitrm.とranovaを参照してください。

多重子ANOVA.は 2 因子 ANOVA の汎化です。たとえば、因子が 3 つあるモデルは次のように記述できます。

$y_{i j k r} = μ. + α_{i} + β_{j} + {γ.}_{k} + {(α β)}_{i j} + {(α γ.)}_{i k} + {(β γ.)}_{j k} + {(α β γ.)}_{i j k} + {ε.}_{i j k r,}$

ここで

y_ijkrは応答応答数の観测ですです。我は因子aのグループiを表します（i = 1,2，...，i）.jは因子bのグループjをを表し（j = 1,2，。..，j）.kはは子cのグループkを表します.rはは数をます（r = 1,2，...，r）。幂rについて観测値ののはn = i *J * K * rです，観测値の数号は子のの各组み各组みわせについて同じ必要はははませ
μS全体の平面です。
α_iは、因子 A に起因する、全体の平均 μ に対する因子 A のグループの偏差です。α_iの合計は 0 になります。

$\sum_{i = 1}^{I} α_{i} = 0。$
β_jは、因子 B に起因する、全体の平均 μ に対する因子 B のグループの偏差です。β_jの合計は 0 になります。

$\sum_{j = 1}^{J} β_{j} = 0。$
γ._kは，因子cに起因する，全体の平等μに対するに対する子cののの偏差です.γ_kの合計は 0 になります。

$\sum_{k = 1}^{K} {γ.}_{k} = 0。$
(αβ)_ijは、因子 A および B の間の交互作用項です。(αβ)_ijをいずれかのインデックスについてについてすると0になります。

$\sum_{i = 1}^{I} {(α β)}_{i j} = \sum_{j = 1}^{J} {(α β)}_{i j} = 0。$
(αγ)_ikは、因子 A および C の間の交互作用項です。(αγ)_ikをいずれかのインデックスについてについてすると0になります。

$\sum_{i = 1}^{I} {(α γ.)}_{i k} = \sum_{k = 1}^{K} {(α γ.)}_{i k} = 0。$
(βγ)_jkは、因子 B および C の間の交互作用項です。(βγ)_jkをいずれかのインデックスについてについてすると0になります。

$\sum_{j = 1}^{J} {(β γ.)}_{j k} = \sum_{k = 1}^{K} {(β γ.)}_{j k} = 0。$
(αβγ)_ijkは、因子 A、B および C の間の 3 次交互作用項です。αβγ(_ijk) をいずれかのインデックスについて合計すると 0 になります。

$\sum_{i = 1}^{I} {(α β γ.)}_{i j k} = \sum_{j = 1}^{J} {(α β γ.)}_{i j k} = \sum_{k = 1}^{K} {(α β γ.)}_{i j k} = 0。$
ε._ijkrはランダム外乱です。これらは、独立、正規分布、および一定の分散になっていると仮定されます。

3因子anovaでは，因子a，b，cのの效果と応答を検定ますますますますますます。

$\begin{array}{l} H_{0} : α_{1} = α_{2} \dots = α_{I} \\ H_{1} : at least one α_{i} 是不同的, i = 1, 2, ..., I . \end{array}$

因子bの各グループ平等応答応答等価性，仮说は次のようになり。

$\begin{array}{l} H_{0} : β_{1} = β_{2} = \dots = β_{J} \\ H_{1} : at least one β_{j} 是不同的， j = 1, 2, ..., J . \end{array}$

因子cの各グループにおける平台応答の等価について，仮说は次のようになり。

$\begin{array}{l} H_{0} : {γ.}_{1} = {γ.}_{2} = \dots = {γ.}_{K} \\ H_{1} : at least one {γ.}_{k} 是不同的, k = 1, 2, ..., K . \end{array}$

因子の交互作用について，仮说は次のようになります。

$\begin{array}{l} H_{0} : {(α β)}_{i j} = 0 \\ H_{1} : at least one {(α β)}_{i j} \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} H_{0} : {(α γ.)}_{i k} = 0 \\ H_{1} : at least one {(α γ.)}_{i k} \neq 0 \\ H_{0} : {(β γ.)}_{j k} = 0 \\ H_{1} : at least one {(β γ.)}_{j k} \neq 0 \\ H_{0} : {(α β γ.)}_{i j k} = 0 \\ H_{1} : at least one {(α β γ.)}_{i j k} \neq 0 \end{array}$

この表記法では、(αβ)_ijのように 2 つの添字があるパラメーターは 2 つの因子の交互作用効果を表します。パラメーター (αβγ)_ijkは、3 次交互作用を表します。ANOVA モデルは、パラメーターの完全なセットまたは任意のサブセットをもつことができますが、それらの因子にのより単純な項を含まない限り、複雑な交互作用項を一般には含みません。たとえば、通常はすべての 2 次相互項を含まないときは 3 次相互項は含みません。

多包子ANOVA用词データ设备

anova1およびanova2と异なり，Anovan.ではデータが表形式になっている必要はありません。代わりに、応答観測値のベクトルと各因子に対応する値を含む別々のベクトル (あるいはテキスト配列) を要求します。この入力データ形式は、2 因子より多いとき、あるいは因子の組み合せあたりの観測値が一定でないときには、行列よりも便利です。

$\begin{matrix} y & = & [ & y_{1}, & y_{2}, & y_{3}, & y_{4}, & y_{5}, & \dots, & y_{N} & ]^{'} \\ ↑ & ↑ & ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \\ g 1 & = & { & ' A', & ' A', & ' C', & ' B', & ' B', & \dots, & ' D' & } \\ g 2 & = & [ & 1 & 2 & 1 & 3 & 1 & \dots, & 2 & ] \\ g 3 & = & { & ' hi', & ' mid', & ' low', & ' mid', & ' hi', & \dots, & ' low' & } \end{matrix}$

多重子ANOVA.の実行

ライブスクリプトを開く

この例では、自動車データに対して多因子 ANOVA を実行する方法を示します。データには、1970 ～ 1982 年に製造された 406 台の自動車に関する燃費などの情報が含まれています。

标本データを読み込み。

loadcarbig

この例の 4 つの変数に注目します。MPGは、406 種類の自動車の 1 ガロンあたりのマイル数です (NaNと記述されている欠損値を含むものもあります)。その他の 3 つの変数は、cyl4(4 気筒が搭載された車かどうか)、org(ヨーロッパ、日本、米国製)、when(期間の前期、中期、後期に製造) の 3 つの因子です。

3 次交互作用と Type 3 の二乗和を要求して、完全なモデルに当てはめます。

varnames = {'Origin';'4Cyl';'MfgDate'}; anovan(MPG,{org cyl4 when},3,3,varnames)

Figure N-Way ANOVA contains objects of type uicontrol.

ans =7×10。0000 NaN 0.0000 0.7032 0.0001 0.2072 0.6990

多くの项に，フルランクでないことを示す＃という记记が付けられ，p値が欠落しています。これは、因子の組み合せが失われていたり、モデルが高次項をもつときに発生することがあります。この場合、下記のクロス集計により、期間の初期にヨーロッパで製造された 4 気筒以外の自動車は存在しないことがtbl(2,1,1)の 0 からわかります。

[tbl，chi2，p，factorvals] = Crosstab（org，何时，圆柱4）

TBL = TBL（：，：1）= 82 75 25 0 4 3 3 3 4 TBL（：，2）= 12 22 32 32 32 25 32

Chi2 = 207.7689

p = 8.0973e-38

factorvals=3×3 cell array{'USA' } {'Early'} {'Other' } {'Europe'} {'Mid' } {'Four' } {'Japan' } {'Late' } {0x0 double}

その結果、3 次交互作用の影響を推定することは不可能で、3 次交互作用項をモデルに含めると、近似が特異になります。

ANOVA 表から得られる限られた情報でも、3 次交互作用がp値0.699をもち，有意でないことがわかり。

2 次交互作用のみを調べます。

[p，tbl2，stats，术语] = ANOVAN（MPG，{ORG CYL4时}，2,3，varnames）;

Figure N-Way ANOVA contains objects of type uicontrol.

terms

terms =6×31 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1

これこれですべての项を见积もることができことができOrigin*4Cyl) と交互作用項 6 (4Cyl*MfgDate)に対するp値は、典型的なカットオフ値 0.05 よりもかなり大きく、これらの項が有意でないことを示しています。これらの項を省略し、影響を誤差の項に集めることができます。出力変数termsは、それぞれが項を表すビットパターンであるコードの行列を出力します。

termsから項の入力を削除して、モデルから項を省略します。

terms([4 6],:) = []

terms =4×31 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1

Anovan.をときは结果ベクトルをモデルの多重比较にこの统计の多重に必要统计量量もに必要统计量

[~,~,stats] = anovan(MPG,{org cyl4 when},terms,3,varnames)

Figure N-Way ANOVA contains objects of type uicontrol.

stats =struct with fields:source: 'anovan' resid: [1x406 double] coeffs: [18x1 double] Rtr: [10x10 double] rowbasis: [10x18 double] dfe: 388 mse: 14.1056 nullproject: [18x10 double] terms: [4x3 double] nlevels: [3x1 double] continuous: [0 0 0] vmeans: [3x1 double] termcols: [5x1 double] coeffnames: {18x1 cell} vars: [18x3 double] varnames: {3x1 cell} grpnames: {3x1 cell} vnested: [] ems: [] denom: [] dfdenom: [] msdenom: [] varest: [] varci: [] txtdenom: [] txtems: [] rtnames: []

ここでは、これらの車の燃費が 3 つすべての因子に関連し、製造日の影響が車の製造場所に依存することを示すより単純なモデルを得ることができました。

生産国と気筒について多重比較を実行します。

results = multcompare(stats,'Dimension',[1,2])

Figure Multiple comparison of population marginal means contains an axes. The axes with title Click on the group you want to test contains 13 objects of type line.

results =15×61.0000 2.0000 -5.4891 -3.8412 -2.1932 0.0000 1.0000 3.0000 -4.4146 -2.7251 -1.0356 0.0001 1.0000 4.0000 -9.9992 -8.5828 -7.1664 0 1.0000 5.0000 -14.0237 -12.4240 -10.8242 0 1.0000 6.0000 -12.8980 -11.3080 -9.7180 0 2.0000 3.0000 -0.7171 1.11602.9492 0.5085 2.0000 4.0000 40000 -7.3655 -4.7417 -2.1179 0.0000 2.0000 5.0000 -9.9992 -8.5828 -7.1664 0 2.0000 6.0000 -9.7464 -7.4668 -5.1872 0.0000 3.0000 4.0000 -8.5396 -5.8577 -3.1757 0.8577 -3.1757 0.8577 -3.1757 0.0000⋮

参考

anova1|Anovan.|多人节目|kruskalwallis

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