相关数分数のチュートリアル

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このこの例で，动动方程式式例をしててををははは両端でを取得しこの使泛でははし使をでははしををでははしをを泛はは说しを泛泛はは说し泛泛はははを泛泛は说说例泛泛をはははを泛泛ははは泛はをはははははははは泛泛泛说は泛泛泛泛泛泛泛泛泛泛泛ははを泛泛泛を泛泛ささた弦弦动机方程程を，相关数值ををてます。相关数量は，相关数は，相关数の，自身がする相关数についての分です.SYMBOLIC数学工具箱™は关联functionalVerivative.をを用して相关数分微を装装置しし。

波動方程式の解は,汎関数微分を応用して求められます。波動方程式とは,弦の振動から電磁波の伝播に至るまでのさまざまな波動を説明する,物理学において重要な方程式の1つです。この例で説明している手法は,最速降下問題の求解からシャボン玉の極小曲面の検出まで,変分法のさまざまなアプリに応用することができます。

x = 0とx = L.の2空间に吊り下载られた长さL.の弦について考えます。弦は，没有の単位长当たり密度密度とのもちますの张使ために。简体としてしに后さします。，これらの定数を1に设定します。

长度= 1;密度= 1;张力= 1;

弦が弦が动词しいるいるいる合书，弦の动弹エネルギーおよびエネルギーは静止状态s（x，t）からの変位の关键词なりなりこれははXおよび时间T.によって変化します。D.を単位长さ当たりの密度とと，运エネルギーエネルギー

$T. = \int_{0.}^{L.} \frac{D.}{2} {（ \frac{D.}{D. T.} S. （ X 那 T. 的）的）}^{2} D. X 。$

位置エネルギーは

$V. = \int_{0.}^{L.} \frac{R.}{2} {（ \frac{D.}{D. X} S. （ X 那 T. 的）的）}^{2} D. X 那$

ここでR.は张力です。

MATLAB®でこれらの方程式をは正の値ので，この仮定をします。この仮定により，简化は得られる方程式を所定の形式に単純化できます。

纽带s（x，t）D.R.V.L.假设(L>0) T(x, T) = int(d/2*diff(S, T)^2,x,0,L);V (x, t) = int (r / 2 * diff(年代,x) ^ 2, x, 0, L);

作用一种は电视です小型手工料，作用は常に常に小にます。functionalVerivative.をを用して一种の相关数量分数S.について求め，それを0に等しくすることによって，最小作用の条件を决定します。

a = t-v;Eqn = functional derivative（a，s）== 0

EQN（x，t）=
                
                  $L. R. \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} S. （ X 那 T. 的） - L. D. \frac{\partial^{2}}{\partial {T.}^{2}} S. （ X 那 T. 的） = 0.$

简化をを用しし方程式式単纯単纯しし。r / d.を波の速度V.の2乘で置き换えて，方程式を所定の形式に変换します。

EQN =简化（EQN）/ R;EQN =子（EQN，R / D，V ^ 2）

EQN（x，t）=
                
                  $\frac{\frac{\partial^{2}}{\partial {T.}^{2}} S. （ X 那 T. 的）}{{V.}^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} S. （ X 那 T. 的）$

分数分类方法s（x，t）= u（x）* v（t）をを设定し，位置Xおよび时间T.への依存关键词。孩子们を使用して，得られた方程式を両辺に分离します。

纽带U（x）v（t）eqn2 =子（eqn，s（x，t），u（x）* v（t））;eqn2 = eqn2 /（u（x）* v（t））

eqn2（x，t）=
                
                  $\frac{\frac{\partial^{2}}{\partial {T.}^{2}} V. （ T. 的）}{{V.}^{2} V. （ T. 的）} = \frac{\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} 你 （ X 的）}{你 （ X 的）}$

TMP =儿童（EQN2）;

方程式の両辺は异なる异なるにがががが，等しくなっり立つの，両辺両辺定のはのみ。Cと等しいとして，2つのつの分方程式式ます。

纽带Ceqn3 = tmp（1）== c

eqn3 =
                
                  $\frac{\frac{\partial^{2}}{\partial {T.}^{2}} V. （ T. 的）}{{V.}^{2} V. （ T. 的）} = C$

eqn4 = tmp（2）== c

eqn4 =
                
                  $\frac{\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} 你 （ X 的）}{你 （ X 的）} = C$

Dsolve.を使用して，x = 0およびt = 0.における変位が0.という条件で微分方程式を解きます。步骤オプションを50.に设定し，简化をを使ししし所定を所定のに単纯単纯ししししししし

v（t）= dsolve（eqn3，v（0）== 0，t）;u（x）= dsolve（eqn4，u（0）== 0，x）;v（t）=简化（v（t），'脚步'，50）

v（t）=
                 $- 2 C_{1} Sinh. （ \sqrt{C} T. V. 的）$

U（x）=简化（u（x），'脚步'，50）

U（x）=
                 $2 C_{1} Sinh. （ \sqrt{C} X 的）$

方程式の定数を求めます。

p1 = setdiff（symvar（u（x）），sym（[c，x]））

p1 =
                 $C_{1}$

p2 = setdiff（Symvar（v（t）），sym（[c，v，t]））

p2 =
                 $C_{1}$

弦は位置x = 0とx = L.にに固定されれていい条件U（0）= 0が既に存在します。境界条件U（L）= 0をを用してCを求めます。

eqn_bc = u（l）== 0;[solc，param，cond] =解决（eqn_bc，c，'returnconditions'，真的）

solc =
                
                  $- \frac{{K.}^{2} π^{2}}{{L.}^{2}}$

param =
                 $K.$

Cond =.
                 $K. \in Z. \land C_{1} \neq 0. \land 1 \leq. K.$

假设（Cond）

解s（x，t）はU（x）とv（t）の积です。解を求め，弦の特性値を解に代入して解の最终形式を得ます。

s（x，t）= u（x）* v（t）;s =子（s，c，solc）;S =潜艇（S，[L V]，[长度SQRT（张力/密度）]）;

振动词振幅はp1とp2がが决定します単纯単纯ののために，p1とp2を1に设定します。

s =子（s，[p1 p2]，[1 1]）;s =简化（s，'脚步'，50）

s（x，t）=
                 $4. 罪 （ π K. T. 的） 罪 （ π K. X 的）$

弦の振動状態は,K.のさまざまな値に応じ异なりなります任意の时间値T.における最初の4つの状态をプロットします。解决によって返される数帕纳を使用してパラメーターK.を参照します。

Splot（x）= s（x，0.3）;图（1）持有在网格在ymin = double（coeffs（符号））;为了i = 1：4 yplot = summ（剪接，param，i）;fplot（Yplot，[0长]）结尾ylim ([-ymin ymin])传说(“k = 1”那“k = 2”那'k = 3'那'k = 4'那“位置”那'最好的事物')包含('位置（x）') ylabel (“位移(S)”） 标题（'字符串的模式'的）

图包含轴。字符串标题模式的轴包含4个类型函数线的对象。这些对象表示k = 1，k = 2，k = 3，k = 4。

波，可能なのどのよう形结，与えられなとなをもつな条件完全値をな条件完全値は，可以なのの和とます

$F （ X 那 T. 的） = {σ.}_{K. = N.}^{M.} {一种}_{K.} 罪（ π K. T. 的）罪（ π K. X 的）那$

ここで ${一种}_{K.}$ は任意のの数。

Symsum.をを使し，弦の最初の5つの状态ののを求め。

图（2）S5（x）= 1/5 * Symsum（s，param，1,5）;fplot（潜艇（S5，T，0.3），[0长]）Ylim（[ -  ymin ymin]）网格在Xlabel（'位置（x）') ylabel (“位移(S)”） 标题（'前5种模式的求和'的）

图包含轴。具有前5个模式的标题求和的轴包含类型函数线的对象。

図では定性れるがはますここではますますことがはすべてここことではすべてここことではすべてますここではすべてますここではすべて $X$ についてについて条件条件 $S. （ X 那 T. = 0. 的） = 0.$ と指定しています。

方程式 $F （ X 那 T. 的） = {σ.}_{K. = N.}^{M.} {一种}_{K.} 罪（ π K. T. 的）罪（ π K. X 的）$ の ${一种}_{K.}$ の値は，初期速度の条件を指定して计算できます。

$你_{T.} （ X 那 T. = 0. 的） = F_{T.} （ X 那 0. 的）。$

これようななな波形ことができことができことができはははははははことができ同様ののののののののの同様同様同様のの同様同様适切适切ことができ适切ことができことができことができ适切适切なよう适切のの适切よう适切适切よう适切ことができの适切适切适切

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