什么是多分辨率分析？

信号通常由多个物理上有意义的组件组成。通常，您希望在与原始数据相同的时间尺度上单独研究一个或多个这些组件。多分辨率分析指的是将一个信号分解成多个分量，当这些分量加在一起时恰好产生原始信号。为了便于数据分析，信号如何分解是很重要的。组件理想地将数据的可变性分解为物理上有意义和可解释的部分。这个词多分辨率分析通常与小波或小波包相关，但也有非小波技术产生有用的MRA。

作为一个可以从MRA获得的洞察力的激励例子，考虑下面的合成信号。信号以1000赫兹采样一秒钟。

Fs = 1 e3;t = 0:1 / Fs: 1 - 1 / f;comp1文件= cos(2 *π* 200 * t) * (t > 0.7);Comp2 = cos(2*pi*60*t).*(t>=0.1 & t<0.3);趋势=罪(2 *π* 1/2 * t);rng默认的wgnNoise = 0.4 * randn(大小(t));x = comp1文件+ comp2 + + wgnNoise趋势;情节(t, x)包含(“秒”) ylabel (“振幅”)标题(“合成信号”）

信号明确地由三个主要成分组成:频率为60周/秒的时间局域振荡，频率为200周/秒的时间局域振荡和趋势项。这里的趋势项也是正弦的，但频率是1/2周/秒，所以它只在1秒的间隔内完成1/2周。60周期/秒或60赫兹振荡发生在0.1到0.3秒之间，而200赫兹振荡发生在0.7到1秒之间。

并非所有这些都能从原始数据图中立即看出，因为这些成分是混合的。

现在，从频率的角度画出信号。

xdft=fft（x）；N=numel（x）；xdft=xdft（1:numel（xdft）/2+1）；freq=0:Fs/N:Fs/2；绘图（freq，20*log10（abs（xdft）））xlabel(“周期/秒”) ylabel (“数据库”网格)在

从频率分析中，我们更容易辨别振荡分量的频率，但我们失去了它们的时间局域性。从这个角度来看，也很难想象这种趋势。

为了同时获得一些时间和频率信息，我们可以使用时频分析技术，如连续小波变换(cwt).

类(x, Fs)

现在您可以看到60 Hz和200 Hz组件的时间范围。但是，我们仍然没有任何有用的趋势可视化。

时频视图提供了有用的信息，但在许多情况下，您希望及时分离出信号的分量，并分别检查它们。理想情况下，您希望该信息在与原始数据相同的时间范围内可用。

多分辨率分析实现了这一点。事实上，考虑多分辨率分析的一个有用方法是，它提供了一种避免需要时频分析的方法，同时允许您直接在时域中工作。

在时间上分离信号分量

现实世界中的信号是不同成分的混合物。通常，您只对这些成分的子集感兴趣。多分辨率分析允许您通过在不同位置将信号分离为成分来缩小分析范围决议金宝搏官方网站．

以不同分辨率提取信号分量相当于在不同的时间尺度上分解数据的变化，或等效地在不同的频段(不金宝搏官方网站同的振荡率)分解数据。因此，您可以可视化信号的变异性在不同的尺度，或频带同时。

利用小波MRA分析和绘制合成信号。信号被分析在八个分辨率或级别。金宝搏官方网站

mra=modwtmra（modwt（x，8））；helperMRAPlot（x，mra，t，“小波”，小波多分辨的,[2 3 4 9])

在不解释图上符号的含义的情况下，让我们利用我们对信号的了解，尝试理解小波MRA向我们展示的内容。如果从最上面的图开始，向下一直到原始数据的图，您会看到组件逐渐变得平滑。如果您更愿意考虑数据n就频率而言，成分中包含的频率越来越低。回想一下，原始信号有三个主要成分，200 Hz的高频振荡、60 Hz的低频振荡和趋势项，所有这些都被加性噪声破坏。

如果你看 $$\underset{}{\overset{\sim }{D}}2$$在图中，你可以看到时域高频分量是孤立的。你可以孤立地观察和研究这个重要的信号特征。接下来的两张图包含低频振荡。这是多分辨率分析的一个重要方面，即重要的信号成分可能不会被隔离在一个MRA成分中，但它们很少位于两个以上。最后，我们看到 $$\mathrm{年代}8$$绘图包含趋势项。为方便起见，这些组件中轴的颜色已更改，以在MRA中高亮显示。如果您希望在不高亮显示的情况下可视化此绘图或后续绘图，请将最后一个数字输入保留到helperMRAPlot．

小波MRA使用固定函数小波用于分离信号分量k第一个小波MRA分量，表示为 $$\underset{}{\overset{\sim }{D}}k$$在前面的图中，可以看作是将信号滤波成频带的形式 $［\frac{1}{2^{k+1}\Delta t}，\frac{1}{2^k\Delta t}］$在哪里 $\Delta t$是采样周期或采样间隔。最终平滑分量，在绘图中表示为 $$\mathrm{年代}l$$,在那里 $$l$$是MRA的级别，捕获频带 $［0，\frac{1}{2^{l+1}\Delta t}］$。此近似值的精度取决于MRA中使用的小波。请参阅[5]有关小波和小波包MRAs的详细说明。

然而，还有其他的MRA技术需要考虑。

的经验模态分解（EMD）是一种数据自适应多分辨率技术。EMD递归地从数据中提取不同的分辨率，而无需使用固定的函数或滤波器。EMD将信号视为由金宝搏官方网站快叠加在一个平面上的振荡慢第一，提取快速振荡后，该过程将剩余的较慢分量视为新信号，并再次将其视为叠加在较慢分量上的快速振荡。该过程持续到达到某种停止标准。虽然EMD不使用固定函数（如小波）来提取信息，但EMD方法是c从概念上讲，它非常类似于将信号分离成信号的小波方法细节和近似然后将近似值再次分解为细节和近似值。EMD中的MRA分量称为固有模态函数（货币基金组织）。看[4]了解EMD的详细治疗方法。

绘制同一信号的EMD分析图。

[imf_emd, resid_emd] = emd (x);helperMRAPlot (x, imf_emd t“emd”，经验模态分解的,[1 2 3 6])

当MRA分量数目不同时，EMD和小波MRA产生的信号图像相似。这不是偶然的。参见[2]描述了小波变换和EMD之间的相似性。

在EMD分解中，高频振荡被局部化为第一固有模函数（imf1）。低频振荡主要局限于imf2，但在imf3中也可以看到一些影响。IMF 6中的趋势分量与小波技术提取的趋势分量非常相似。

另一种自适应多分辨率分析技术是变分模式分解（VMD）。与EMD一样，VMD尝试从信号中提取固有模式函数或振荡模式，而不使用固定函数进行分析。但EMD和VMD以非常不同的方式确定模式。EMD在时域信号上递归工作，以逐步提取低频IMF。VMD从识别fr中的信号峰值开始Sequency域并同时提取所有模式。请参阅[1用于治疗VMD。

[imf_vmd，resid_vmd]=vmd（x）；helperMRAPlot（x，imf_vmd，t，“vmd”，“变分模态分解”,[2 4 5])

需要注意的关键是，与小波分解和EMD分解类似，VMD将感兴趣的三个分量分离为完全独立的模式或少数相邻的模式。所有这三种技术都允许您在与原始信号相同的时间尺度上可视化信号组件。

有一种数据自适应技术，实际上是根据数据的频率内容构造小波滤波器。这个技巧是经验小波变换(易)3.］.对EMD的主要批评之一是，它的定义纯粹是算法。因此，它不容易接受数学分析。另一方面，EWT实际上是基于被分析信号的频率内容构造Meyer小波。因此，EWT的结果是经得起数学分析的，因为在分析中使用的滤波器对用户是可用的。使用EWT重复对合成信号的分析。

[mra_ewt，cfs，wfb，info]=ewt（x，“MaxNumPeaks”5);helperMRAPlot (x, mra_ewt t“易”，“经验小波变换”,[1 2 3 5])

类似于以往的EMD和小波MRA技术，EWT分离了振荡分量并趋向于一些固有模态函数。然而，与EMD相比，用于执行分析的滤波器及其通频带信息对用户是可用的。

Nf=length（x）/2+1；cf=mean（info.FilterBank.Passbands，2）；f=0:Fs/length（x）：Fs/length（x）；clf ax=newplot；plot（ax，f（1:Nf），wfb（1:Nf，：）ax.XTick=sort（cf.*Fs）；ax.XTickLabel=ax.XTick；xlabel(“赫兹”网格)在标题(“经验Meyer小波”）

EWT技术的另一个优点是，分析系数保留了原始信号的能量。这种特性是非自适应小波技术所共有的，但在非小波自适应技术中没有发现。

EWTEnergy =总和(vecnorm (cfs, 2) ^ 2)。

EWTEnergy = 875.5768

sigEnergy=norm（x，2）^2

sigEnergy=875.5768

对于一个有用的分量分离的真实例子，考虑一个地震仪(垂直加速度， $$\text{纳米}/{\text{年代}}^2$$)记录了1995年1月16日在澳大利亚霍巴特塔斯马尼亚大学记录的神户地震，时间为20:56:51(格林尼治标准时间)，每隔1秒持续51分钟。

负载KobeTimeTableT = KobeTimeTable.t;科比= KobeTimeTable.kobe;图绘制(T,科比)标题(“神户地震地震仪”) ylabel (“垂直加速度(nm / s ^ 2)”)包含(“时间”)轴心紧网格在

获取并绘制数据的小波MRA。

mraKobe = modwtmra (modwt(科比,8));图helperMRAPlot(科比,mraKobe T“小波”，“小波MRA神户地震”[4 - 5])

图中显示了MRA分量中一次波分量和延迟二次波分量的分离 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}4$和 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}5$．地震波中的分量以不同的速度传播，其中主波(纵波)传播比次波(横波)传播快。MRA技术可以使您在原始时间尺度上独立地研究这些组件。

从MRA重建信号

将信号分离成分量的目的往往是去除某些分量或减轻它们对信号的影响。MRA技术的关键是重建原始信号的能力。

首先，让我们演示一下，所有这些多分辨率技术都允许您从组件完美地重建信号。

sigrec_小波=和（mra）；sigrec_emd=和（imf_emd，2）+剩余emd；sigrec_vmd=和（imf_vmd，2）+剩余vmd；图形子地块（3,1,1）图（t，sigrec_小波）；标题(“小波重构”)；集（gca，“XTickLabel”[]);ylabel (“振幅”）;次要情节(3、1、2);情节(t, sigrec_emd);标题(“EMD重建”)；集（gca，“XTickLabel”[]);ylabel (“振幅”); 子地块（3,1,3）图（t，sigrec_vmd）；头衔(“VMD重建”）;ylabel (“振幅”）;包含(“时间”）;

在逐样本的基础上，每种方法的最大重建误差为 $10^{-12}$由于MRA分量之和重建了原始信号，因此包含或排除分量子集可以产生有用的近似值。

返回到合成信号的原始小波MRA，假设您对趋势项不感兴趣。因为趋势项位于最后一个MRA分量中，所以只需将该分量从重建中排除。

sigWOtrend =总和(mra (1: end-1,:));图绘制(t, sigWOtrend)包含(“时间(s)”) ylabel (“振幅”)标题(“趋势术语删除”）

要删除其他组件，可以使用错误的不希望包含的组件中的值。在这里，我们除去趋势和最高频率分量以及第一个MRA分量(看起来很大程度上是噪声)。将实际的第二信号分量(60hz)与重构图绘制出来进行比较。

包括= true(大小(mra (1), 1);Include ([1 2 9]) = false;ts =总和(mra(包括:));情节(t, comp2“b”)举行在图（t，ts，“r”)标题(“移除趋势项和最高频率成分”)包含(“时间(s)”) ylabel (“振幅”)传奇(“第2部分”，“部分重建”) xlim ([0.0 - 0.4])

在前面的示例中，我们将趋势项视为要删除的讨厌组件。在许多应用程序中，趋势可能是主要感兴趣的部分。让我们可视化我们的三个mra示例所提取的趋势术语。

图2：曲线图（t、趋势、，“线宽”，2）保持在情节(t, mra(最终,:)imf_vmd(:,结束)imf_emd(:,结束)mra_ewt(:,结束)])网格在传奇(“趋势”，“小波”，“VMD”，“EMD”，“易”) ylabel (“振幅”)包含(“时间(s)”)标题(“三个MRAs的趋势”）

请注意，通过小波技术可以更平滑、更准确地捕捉趋势。EMD发现了一个平滑的趋势项，但它相对于真实趋势振幅发生了偏移，而VMD技术似乎天生比小波和EMD技术更倾向于发现振荡。本文将进一步讨论这一点的影响MRA技术-优点和缺点部分。

使用MRA检测瞬态变化

在前面的例子中，强调了多分辨率分析在检测数据中的振荡分量和总体趋势中的作用。然而，这些并不是使用多分辨率分析可以分析的唯一信号特征。MRA还可以帮助定位和检测信号中的瞬态特征，如脉冲事件，或某些成分变异性的减少或增加。局部于特定尺度或频带的变异性变化往往表明数据产生过程中的显著变化。这些变化通常在MRA组件中比在原始数据中更容易显示出来。

为了说明这一点，考虑1947年第一季度到2011年第四季度的美国实际国内生产总值(GDP)季度链加权数据。季度样本对应于4个样本/年的抽样频率。垂直的黑线标志着“大缓和”的开始，这意味着从20世纪80年代中期开始，美国宏观经济波动下降。注意，从原始数据中很难看出这一点。

负载GDPData图1：保持不变的曲线图（年、实际GDP）在情节([(146)年(146)],[-0.06 - 0.14],“k”)标题(“GDP数据”)包含(“年”)举行从

获取GDP数据的小波MRA。绘制最精细分辨率的MRA分量，并标记大缓和周期。由于小波MRA是使用固定滤波器获得的，因此我们可以将最精细尺度的MRA分量与每年1个周期到每年2个周期的频率相关联。以两个季度周期振荡的分量具有每年2个周期的频率。在这种情况下，最精细分辨率MRA组件捕获相邻两个季度间隔之间发生的GDP变化，以及每个季度之间发生的变化。

mra = modwtmra (modwt (realgdp“db2”））;图绘制(一年,mra (1:))在情节([(146)年(146)],[-0.015 - 0.015],“k”)标题(“小波MRA-季度间变化”)包含(“年”)举行从

在最精细的MRA成分中，可变性或经济上的波动性的减少比原始数据中更明显。检测方差变化的技术，如MATLABfindchangepts(信号处理工具箱)通常在MRA组件上比在原始数据上更有效。

MRA技术-优点和缺点

在这个例子中，我们讨论了小波和数据自适应多分辨率分析技术。各种技术的优点和缺点是什么?换句话说，对于什么应用程序，我可以选择其中一个而不是另一个?让我们从小波开始。本例中的小波技术使用固定滤波器来获得MRA。这意味着小波MRA有一个明确的数学解释，我们可以预测MRA的行为。我们还能够将MRA中的事件与数据中的特定时间尺度联系起来，就像在GDP例子中所做的那样。缺点是小波变换将信号分成倍频带(每个分量的中心频率减少1/2)，因此在高中心频率处的带宽要比低频率处的带宽大得多。这意味着用小波技术，两个紧密间隔的高频振荡可以很容易地在相同的MRA分量中结束。

重复第一个合成例子，但将两个振荡分量彼此移动一个八度。

Fs = 1 e3;t = 0:1 / Fs: 1 - 1 / f;Comp1 = cos(2*pi*150*t).*(t>=0.1 & t<0.3);comp2 = cos(2 *π* 200 * t) * (t > 0.7);趋势=罪(2 *π* 1/2 * t);rng默认的; wgnNoise=0.4*randn（尺寸（t））；x=comp1+comp2+趋势+wgnNoise；图（t，x）xlabel(“秒”) ylabel (“振幅”）

重复并绘制小波MRA。

mra=modwtmra（modwt（x，8））；helperMRAPlot（x，mra，t，“小波”，小波多分辨的, 9 [2])

现在我们看到了 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}2$包含150 Hz和200 Hz组件。如果使用EMD重复此分析，则会看到相同的结果。

现在让我们使用VMD。

[imf_vmd ~, info_vmd] = vmd (x);helperMRAPlot (x, imf_vmd t“vmd”，“VMD”，[1 2 3 5]);

VMD能够分离这两个组件。高频振荡以IMF 1为中心，而第二分量分布在两个相邻的IMF上。如果你看VMD模式的估计中心频率，该技术将前两个分量定位在200和150赫兹左右。第三个IMF的中心频率接近150赫兹，这就是为什么我们在两个MRA组件中看到第二个组件。

信息中心频率*Fs

ans=5×1202.7204 153.3278 148.8022 84.2802 0.2667

VMD之所以能够做到这一点，是因为它首先通过查看数据的频域分析来确定imf的候选中心频率。

而小波MRA不能分离两个高频分量，有一个额外的小波包MRA可。

wpt=modwptdetails（x，3）；helperMRAPlot（x，翻转（wpt），t，“小波”，“小波包MRA”,[5 6 8]);

现在你看到两个振荡是分开的 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}5$和 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}6$．从这个例子中我们可以提取出一条一般规则。如果初始小波或EMD分解在同一分量中显示出振荡率明显不同的分量，则考虑VMD或小波包MRA。如果您怀疑您的数据在频率上有接近的高频成分，VMD或小波包方法通常比小波或EMD方法更有效。

回想提取平滑趋势的问题。重复小波MRA和EMD。

mra=modwtmra（modwt（x，8））；helperMRAPlot（x，mra，t，“小波”，小波多分辨的, 9 [2])

imf_emd=emd（x）；helperMRAPlot（x，imf_emd，t，“EMD”，经验模态分解的(1 2 6))

小波和EMD技术提取的趋势比VMD和小波包技术提取的趋势更接近真实趋势。VMD本质上倾向于寻找窄带振荡分量。这是VMD在检测密集振荡方面的优势，但在提取数据中的平滑趋势时是一个劣势。当分解超过几个级别时，小波包MRAs也是如此。这导致了第二项一般性建议。如果您有兴趣描述数据中的平滑趋势以便识别或删除，请尝试小波或EMD技术。

如何检测GDP数据中的瞬时变化呢?让我们使用VMD重复GDP分析。

[imf_vmd, ~, vmd_info] = vmd (realgdp);图subplot(2,1,1) plot(year,realgdp) title(实际国内生产总值的）;持有在情节([(146)年(146)],[-0.1 - 0.15],“k”)举行从次要情节(2,1,2)情节(一年,imf_vmd (: 1));标题(“第一VMD国际货币基金组织(IMF)”）;包含(“年”)举行在地块（[年（146）年（146）]，[-0.02 0.02]，“k”)举行从

虽然从20世纪80年代中期开始，最高频率的VMD分量似乎也显示出可变性有所降低，但它不像小波MRA中那样明显。因为VMD技术偏向于发现振荡，所以第一个VMD IMF中存在大量振铃，从而掩盖了波动性变化。

使用EMD重复此分析。

imf_emd=emd（真实GDP）；图子地块（2,1,1）图（年份，真实GDP）标题(实际国内生产总值的）;持有在情节([(146)年(146)],[-0.1 - 0.15],“k”)举行从子地块（2,1,2）地块（年份，imf_emd（：，1））；名称(“第一EMD国际货币基金组织(IMF)”)包含(“年”)举行在情节([(146)年(146)],[-0.06 - 0.05],“k”)举行从

EMD技术在发现波动率变化（方差）方面用处不大。在这种情况下，小波MRA中使用的固定函数比数据自适应技术更为有利。

这就引出了我们最后的一般规则。如果你对检测信号中的瞬态变化感兴趣，比如脉冲事件是可变性的减少和增加，那么试试小波技术。

结论

这个例子展示了多分辨率分解技术(如小波、小波包、经验模式分解、经验小波和变分模式分解)如何使您能够在与原始数据相同的时间尺度上相对独立地研究信号成分。每种技术在许多应用中都证明了自己的强大。这个例子提供了一些经验法则让你开始，但这些规则不应该被视为绝对的。下表概述了MRA技术的特性以及一些一般的经验法则。两个加号表示特定的强度，一个加号表示该技术是适用的，但不是特定的强度。对于像在分析中保存能量这样的二元属性，一个复选标记表示该技术具有该属性，一个“x”表示该属性不存在。

具有信号多分辨率分析，您可以对信号执行多分辨率分析，获取各种MRA组件的度量，试验部分重建，并生成MATLAB脚本以在命令行上再现分析。

工具书类

德拉戈米列茨基、康斯坦丁和多米尼克·佐索。“变分模态分解”。IEEE信号处理汇刊62年,没有。3(2014年2月):531-44。https://doi.org/10.1109/TSP.2013.2288675．

[2] 《作为滤波器组的经验模式分解》IEEE信号处理信函11日,没有。2(2004年2月):112-14。https://doi.org/10.1109/LSP.2003.821662．

[3] Giles，J.“经验小波变换”，IEEE信号处理汇刊，61卷,没有。16(2013年5月):3999 - 4010。

[4] Huang, Norden E.， Shen Zheng, Steven R. Long, Manli C. Wu, Hsing H. Shih, Quanan Zheng, naichyuan Yen, Chi Chao Tung, and Henry H. Liu。“非线性和非平稳时间序列分析的经验模态分解和希尔伯特谱”。伦敦皇家学会学报。系列A:数学、物理和工程科学454年,没有。1971(1998年3月8日):903-95。https://doi.org/10.1098/rspa.1998.0193．

Percival, Donald B.和Andrew T. Walden。时间序列分析的小波方法．统计和概率数学的剑桥系列。剑桥 ;纽约:剑桥大学出版社，2000。