離散ウェ，ブレット変換および離散ウェ，ブレットパケット変換

次の図に，1次元の入力信号のDWTリを示します。

図 1:1次元入力信号のレベル3まで下げたDWTリ。

$$\underset{}{\overset{\sim }{G}}（f）$$はスケリング(ロパス)解析フィルタであり， $$\underset{}{\overset{\sim }{H}}（f）$$はウェブレット(ハパス)解析フィルタを表します。下部のラベルは，周波数軸[0,1/2]のサブバンドへの分割を示します。

図は,DWTの後続のレベルがローパス(スケーリング)フィルターの出力のみを処理することを示します。各レベルで，dwtは信号をオクタ，ブバンドに分割します。大きくサンプリングされているDWTでは,バンドパスフィルターの出力は各レベルで2でダウンサンプリングされます。非間引き離散ウェ，ブレット変換では，出力はダウンサンプリングされません。

DWTリと完全なウェブレットパケットリを比較します。

図 2:レベル3まで下げた完全なウェブレットパケットリ。

ウェーブレットパケット変換では,フィルター処理はウェーブレット係数または细节係数にも適用されます。結果として,ウェーブレットパケットは,入力信号のサブバンドフィルター処理を徐々に細かく等幅間隔にします。各レベル $$j$$で，周波数軸[0,1/2]は $$2^j$$個のサブバンドに分割されます。レベル $$j$$のヘル単位のサブバンドは，ほぼ以下のようになります。

$$［\frac{nF\mathrm{年代}}{2^{j+1}}，\frac{（n+1）F\mathrm{年代}}{2^{j+1}}）n＝0，1，.．.2^j-1$$ここで $$\text{Fs}$$はサンプリング周波数です。

このバンドパスの近似がどの程度優れているかは,フィルターの周波数がどの程度局所化されているかによって異なります。“fk18”(18個の係数)などのFejer-Korovkinフィルターの場合,近似は非常に良好です。哈尔(“哈雾”)などのフィルタ，の場合，近似は正確ではありません。

大きくサンプリングされているウェーブレットパケット変換では,バンドパスフィルターの出力は2でダウンサンプリングされます。非間引きウェ，ブレットパケット変換では，出力はダウンサンプリングされません。

ウェブレットパケットを使用した時間—周波数解析

ウェーブレットパケットはDWTより周波数軸をより細かい間隔に分割するため,ウェーブレットパケットは時間——周波数解析より優れています。例として,加法性ノイズを伴う周波数150 Hzおよび200 Hzの2つの断続的な正弦波について考えます。デ，タは1 kHzでサンプリングされます。大きくサンプリングされているウェーブレットパケット変換でよくある時間分解能の損失を回避するには,非間引き変換を使用します。

Dt = 0.001;T = 0:dt:1-dt;x =.．.因为(2 *π* 150 * t) * (t > = 0.2 & t < 0.4) +罪(2 *π* 200 * t) * 0.6 (t > & t < 0.9);Y = x+0.05*randn(size(t));[wpt，~，F] = modwpt(x，“TimeAlign”,真正的);轮廓(t、f * (1 / dt), abs (wpt)。^ 2)网格在包含(的时间(秒)) ylabel (“赫兹”)标题(《时频分析——非拟小波包变换》）

ウェーブレットパケット変換は150 Hz成分と200 Hz成分を分離できることに注意してください。これがDWTではできないのは,150 Hzと200 Hzが同じオクターブバンド内にあるためです。レベル4のDWTのオクタブバンド(Hz単位)を次に示します。

これらの2つの成分はDWTによって時間が局所化されていますが,周波数で分離されていないことを示します。

Mra = modwtmra(modwt(y，“fk18”，4)，“fk18”）;J = 5:-1:1;频率= 1/2*(1000./2.^J);轮廓(t,频率,flipud (abs (mra)。^ 2))网格在Ylim ([0 500]) xlabel(的时间(秒)) ylabel (“赫兹”)标题(《时频分析——非拟小波变换》）

もちろん,連続ウェーブレット変換(CWT)はウェーブレットパケット変換と比べてより高い分解能の時間——周波数解析を提供しますが,ウェーブレットパケットには直交変換であること(直交ウェーブレットを使用する場合)によるさらなるメリットがあります。直交変換は，次の節で示すように，信号のエネルギ，を維持して係数間で分割することを指します。

ウェ，ブレットパケット変換でのエネルギ，の維持

ウェーブレットパケット変換は,信号を各レベルにおいて等幅サブバンドにフィルター処理するだけでなく,信号のエネルギーをサブバンド間で分割します。これは,間引きウェーブレットパケット変換と非間引きウェーブレットパケット変換の両方で行われます。これを示すために，地震の地震波記録を含むデ，タセットを読み込みます。このデ，タは，下記の信号分類の例で使用される時系列に似ています。

负载科比情节(科比)网格在包含(“秒”)标题(“神户地震资料”)轴紧

データの間引きウェーブレットパケット変換と非間引きウェーブレットパケット変換の両方をレベル3まで下げて取得します。間引きウェ，ブレットパケット変換での一貫した結果を確保するために，境界拡張モ，ドを“周期”に設定します。

wptreeDecimated = dwpt(科比，“水平”3,“边界”，“周期”）;wptUndecimated = modwpt(kobe,3);

間引きおよび非間引きの両方のウェーブレットパケットのレベル3係数で全エネルギーを計算し,元の信号のエネルギーと比較します。

decimatedEnergy = sum(cell2mat(cellfun(@(x) sum(abs(x).^2)，wptreeDecimated，“UniformOutput”假)))

decimatedEnergy = 2.0189e+11

unimatedenergy = sum(sum(abs(wptUndecimated).^2,2))

unimatedenergy = 2.0189e+11

signalEnergy = norm(kobe,2)^2

signalEnergy = 2.0189e+11

DWTは，この重要な性質をウェ，ブレットパケット変換と共有します。

Wt = modwt(神户，“fk18”3);unimatedwtenergy = sum(sum(abs(wt).^2,2))

未imatedwtenergy = 2.0189e+11

各レベルでのウェーブレットパケット変換によって周波数軸が等幅間隔に分割され,信号エネルギーがこれらの間隔に分割されるため,各ウェーブレットパケット内の相対的なエネルギーを維持するだけで,多くの場合に分類に便利な特徴ベクトルを作成できます。次の例では，これを示しています。

ウェブレットパケット分類—地震か爆発か

地震波記録は，多くのソ，スから活動を拾います。この活動をその出典に基づいて分類できることが重要です。たとえば,地震および爆発は同様の時間領域シグネチャを示す場合がありますが,これらの2つの出来事を区別することは非常に重要です。デ，タセットEarthQuakeExplosionDataには，2048サンプルをも16の記録が含まれています。最初の8つの記録(列)は地震の地震波記録であり,最後の8つの記録(列)は爆発の地震波記録です。比較のためにデ，タを読み込み，地震および爆発の記録をプロットします。デ，タはShumway和Stoffer[3]を補完するR包astsa Stoffer[4]から取得されます。この例での使用にいては，著者の許可を得ています。

比較のために各グル，プの時系列をプロットします。

负载EarthQuakeExplosionDatasubplot(2,1,1) plot(地震爆炸数据(:，3))xlabel(“时间”)标题(“地震记录”网格)在轴紧subplot(2,1,2) plot(地震爆炸数据(:，9))xlabel(“时间”)标题(“爆炸记录”网格)在轴紧

非間引きウェ，ブレットパケット変換で“fk6”ウェーブレットを使用して各時系列をレベル3まで下げて分解することで,ウェーブレットパケット特徴ベクトルを作成します。結果としておよその幅が1/16サ▪▪▪▪▪クル/サンプルのサブバンドが8▪▪▪▪▪作成されます。各サブバンドの相対エネルギ，を使用して，特徴ベクトルを作成します。例として、最初の地震記録のウェーブレット パケットの相対エネルギー特徴ベクトルを取得します。

[wpt，~，F,E,RE] = modwpt(seisakeexplosiondata (:，1)，3，“fk6”）;

再保险には8のサブバンドのそれぞれの相対エネルギが含まれています。再保险のすべての要素を合計すると，1と等しくなります。これは大幅なデ，タ削減であることに注意してください。2048年長さがの時系列は8つの要素をもつベクトルに削減され,各要素はレベル3のウェーブレットパケットノードの相対エネルギーを表します。補助関数helperEarthQuakeExplosionClassifierは,“fk6”ウェブレットを使用してレベル3の16個の記録のそれぞれの相対エネルギを取得します。結果として16行8列の行列が作成され,これらの特徴ベクトルをk - means分類器への入力として使用します。分類器はギャップ統計の基準を使用して,1から6の間の特徴ベクトルに最適なクラスター数を特定し,各ベクトルを分類します。さらに，分類器は，それぞれの時系列の“fk6”ウェーブレットおよびパワースペクトルを使用して取得したレベル3の非間引きウェーブレット変換係数に対してまったく同じ分類を実行します。非間引きウェーブレット変換によって,16行4列の行列(3つのウェーブレットサブバンドと1つのスケーリングサブバンド)が作成されます。パワ，スペクトルによって，16行1025列の行列が作成されます。helperEarthQuakeExplosionClassifierのソ，スコ，ドの一覧を付録に示します。分類器を実行するには，统计和机器学习工具箱™および信号处理工具箱™がなければなりません。

Level = 3;[WavPacketCluster, WtCluster PspecCluster] =.．.helperEarthQuakeExplosionClassifier (EarthQuakeExplosionData级别)

WavPacketCluster = GapEvaluation with properties: NumObservations: 16 InspectedK: [1 2 3 4 5 6] CriterionValues: [-0.0039 0.0779 0.1314 0.0862 0.0296 -0.0096] OptimalK: 2

WtCluster = GapEvaluation with properties: NumObservations: 16 InspectedK: [1 2 34 5 6] CriterionValues: [-0.0095 0.0474 0.0706 0.0260 -0.0280 -0.0346] OptimalK: 2

PspecCluster = GapEvaluation with properties: NumObservations: 16 InspectedK: [1 2 34 56] CriterionValues: [0.3804 0.3574 0.3466 0.2879 0.3256 0.3326] OptimalK: 1

WavPacketClusterは，非間引きウェ，ブレットパケットの特徴ベクトルのクラスタリング出力であり，WtClusterは，非間引きDWTの特徴ベクトルのクラスタリング出力であり，PspecClusterは，パワ，スペクトルに基づくクラスタリングの出力です。ウェブレットパケット分類によって2のクラスタ(OptimalK: 2)が最適な数として特定されました。ウェ，ブレットパケットクラスタリングの結果を確認します。

res = [WavPacketCluster.OptimalY(1:8)';WavPacketCluster.OptimalY(9:结束)')

res =2×81 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2

エラが2しか生成されていないことがわかります。8つの地震記録のうち,7つはまとめて分類され(グループ2),1つは誤ってグループ1に属すると分類されています。同じことが8つの爆発記録にも当てはまり,7つがまとめて分類され,1つが誤って分類されています。レベル3 の非間引き DWT およびパワー スペクトルに基づく分類により、1 つのクラスターが最適解として返されます。

4と等しいレベルを使用して上記を繰り返す場合,非間引きウェーブレット変換およびウェーブレットパケット変換は同様に実行されます。両方で2つのクラスターが最適なものとして特定され,両方で最初および最後の時系列が別のグループに属するものとして誤分類されます。

まとめ

この例では，ウェブレットパケット変換と離散ウェブレット変換の違いにいて説明しました。特に,ウェーブレットパケットツリーもウェーブレット(细节)係数のフィルター処理を行いますが,ウェーブレット変換が繰り返すのはスケーリング(近似)係数のみです。

ウェーブレットパケット変換は,優れた周波数の分解能を提供する一方で,DWTのエネルギーが維持される重要な性質を共有することについて説明しました。一部の用途では,この優れた周波数の分解能により,ウェーブレットパケット変換がDWTの魅力的な代替手段となります。

付録

helperEarthQuakeExplosionClassifier

函数[WavPacketCluster,WtCluster,PspecCluster] = helperseisakeexplosionclassifier (Data,Level)此函数仅用于支持特定示例金宝app% waveletpacketsdemo.mlx。此函数可能在未来的版本中被更改或删除。% Data -以单个时间序列为列向量的数据矩阵。%级别-小波包和小波变换的级别NP = 2^Level;NW = Level+1;WpMatrix = 0 (16,NP);WtMatrix = 0 (16,NW);为jj = 1:8 [~，~，~，~，RE] = modwpt(Data(:，jj)，Level，“fk6”）;wt = modwt(数据(:，jj)，级别，“fk6”）;WtMatrix (jj:) =总和(abs (wt)。^ 2,2)。/规范(数据(:,jj), 2) ^ 2;WpMatrix(jj，:) = RE;结束为kk = 9:16 [~，~，~，~，RE] = modwpt(Data(:，kk)，Level，“fk6”）;wt = modwt(数据(:，kk)，级别，“fk6”）;WtMatrix (kk:) =总和(abs (wt)。^ 2,2)。/规范(数据(:,kk), 2) ^ 2;WpMatrix(kk，:) = RE;结束%用于重复性rng (“默认”）;WavPacketCluster = evalclusters(WpMatrix，“kmeans”，“差距”，“中”1:6,.．.“距离”，“cityblock”）;WtCluster = evalclusters(WtMatrix，“kmeans”，“差距”，“中”1:6,.．.“距离”，“cityblock”）;Pxx = periodogram(Data,hamming(number (Data(:，1)))，[]，1，“权力”）;PspecCluster = evalclusters(Pxx'，“kmeans”，“差距”，“中”1:6,.．.“距离”，“cityblock”）;结束