主要内容

状态空间模型是什么?

定义

状态空间模型

一个状态空间模型是一个离散时间随机模型,包含两组方程:

  • 一个描述如何转换时间(潜在的过程状态方程)

  • 另一个描述一个观察者潜伏过程在每一个时期(措施观测方程)

象征性地,您可以编写一个线性、多元时变使用以下系统的状态空间模型,高斯方程

x t = 一个 t x t − 1 + B t u t y t − ( Z t β ) ′ = C t x t + D t ε t ,

为t= 1,…,T。

  • x t = ( x t 1 , … , x t 米 t ] ′ 是一个米t维状态向量描述的动力学,可能是不可见的,现象t。初始状态分布(x0)是高斯的意思μ0和协方差矩阵Σ0。

  • y t = ( y t 1 , … , y t n t ] ′ 是一个nt维观测向量描述如何衡量美国观察家时期t。

  • 一个t是米t——- - - - - -米t- 1状态转换关系矩阵描述美国时间t在时期过渡到美国t- 1。

  • Bt是米t——- - - - - -ktstate-disturbance-loading矩阵描述美国时期t结合的创新时期t。

  • Ct是nt——- - - - - -米tmeasurement-sensitivity矩阵描述如何观察t与美国在时期t。

  • Dt是nt——- - - - - -htobservation-innovation矩阵描述如何观察t结合观察错误t。

  • 的矩阵一个t,Bt,Ct,Dt被称为系数矩阵和可能包含未知参数。

  • u t = ( u t 1 , … , u t k t ] ′ 是一个kt维空间、高斯白噪音,unit-variance向量扰动状态的时期t。

  • ε t = ( ε t 1 , … , ε t h t ] ′ 是一个ht维,高斯白噪音,unit-variance向量观察创新时期t。

  • εt和ut是不相关的。

  • 为定常状态空间模型,

    • Z t = ( z t 1 z t 2 ⋯ z t d ] 是行t的T——- - - - - -d矩阵的预测Z。每一列的Z对应于一个预测,每一行一个连续的时期。如果观察到多变量,那么所有预测缩小每个观察。

    • β是一个d——- - - - - -n的回归系数矩阵Zt。

写定常状态空间模型,将t下标的系数矩阵和维度。

状态空间模型扩散

扩散是一个状态空间模型状态空间模型可以包含至少一个国家和一个无限的初始方差,称为分散状态。除了拥有一个无限的初始方差,所有分散状态与所有其他州在模型中是不相关的。有几种使用分散状态空间模型的动机:

  • 早期的研究起点的不稳定系统,如随机游走过程,导致初始分布方差方法无穷。

  • 无限方差规范一个初始状态分布表示完全无知,或没有先验知识,分散状态。这个规范的好处是,这些州的分析更为客观。的观察,而不是额外的分布假设,帮助理解分散状态。缺点是后验分布的州可能不当,似然函数是无界的。然而,有了足够的数据和一个可识别的,高斯,状态空间模型的过滤和平滑状态,基于他们的可能性,可以计算使用分散卡尔曼滤波器。

  • 代表一个静态的,初始状态作为未知参数,将无限方差。

定常状态空间模型

在一个定常:状态空间模型

  • 所有时期的系数矩阵是等价的。

  • 州的数量、状态扰动观测,观测创新是相同的所有时间。

例如,对所有t,以下方程组

( x 1 , t x 2 , t ] = ( ϕ 1 0 0 ϕ 2 ] ( x 1 , t − 1 x 2 , t − 1 ] + ( 0.5 0 0 2 ] ( u 1 , t u 2 , t ] y t = ( ϕ 3 1 ] ( x 1 , t x 2 , t ] + 0.2 ε t

代表一个定常状态空间模型。

状态空间模型时变

在一个时变:状态空间模型

  • 系数矩阵可能会改变时期。

  • 州的数量、状态扰动观察,和观察创新时期都可能会改变,dimension-varying模型。例如,这可能发生,如果有一个政权转移或一个州或观察在采样时间内无法衡量。此外,您可以使用时变模型季节性模型。

为了说明一个政权转变,假设t= 1,…,10

( x 1 , t x 2 , t ] = ( ϕ 1 0 0 ϕ 2 ] ( x 1 , t − 1 x 2 , t − 1 ] + ( 0.5 0 0 2 ] ( u 1 , t u 2 , t ] y t = ( ϕ 3 1 ] ( x 1 , t x 2 , t ] + 0.2 ε t ,

为t= 11

x 1 , t = ( ϕ 4 0 ] ( x 1 , t − 1 x 2 , t − 1 ] + 0.5 u 1 , t y t = ϕ 5 x 1 , t + 0.2 ε t ,

和t= 12 . .T

x 1 , t = ϕ 4 + 0.5 u 1 , t y t = ϕ 5 x 1 , t + 0.2 ε t 。

有三套状态转换矩阵,而只有两套其他的系数矩阵。

建立状态空间模型

创建一个标准或扩散,状态空间模型使用舰导弹或dssm,分别。对于定常模型,显式地指定的参数形式通过提供状态空间模型的系数矩阵。对于时变、复杂的模型或模型,需要约束,供应parameter-to-matrix映射函数。软件可以推断出类型的状态(静止,常数,或不稳定),但它是最佳实践提供状态类型使用,例如,StateType名称-值对的论点。

指定过滤和平稳的状态舰导弹或dssm模型,软件使用标准卡尔曼滤波器或者是分散卡尔曼滤波器。实现,软件需要初始状态分布的参数(x0)。

  • 静止的状态(StateType是0),最初的均值、方差和协方差是有限的,推断他们的软件。不过,您可以使用属性指定其他值Mean0和Cov0,点符号。

  • 州的常数一个为所有时间(StateType是1),初始状态意味着1和方差是0。

  • 不稳定或分散状态(StateType是2):

    • 状态空间模型为标准,初始状态意味着是0和初始状态方差1 e7默认情况下。指定的初始状态协方差正,创建一个dssm模型对象。

    • 对于分散状态空间模型,初始状态意味着是0和初始状态方差正。

引用

[1]杜宾J。,S. J. Koopman.时间序列分析的状态空间方法。第二版》。牛津:牛津大学出版社,2012年。

另请参阅

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