既定の设定でbicgを使用正方システムをて，解法で使用される许容误差とと反复回数回数ししし

密度が 50% の乱数スパース行列一种を作成ます。また， $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$の右辺にのベクトルbを作成し。

rngdefaultA = Sprand（400,400，.5）;a = a'*a;b = rand（400,1）;

bicgを使用して $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$を解きます。出力の表示には相対残差誤差 $\frac{”\mathit{b}-\mathrm{斧头}”}{”\mathit{b}”}$の値含まれます。

x = bicg（a，b）;

bicg stopped at iteration 20 without converging to the desired tolerance 1e-06 because the maximum number of iterations was reached. The iterate returned (number 7) has relative residual 0.45.

既定ではbicgは20回回とと1e-6の误差使用，アルゴリズムははについて，，，そのその，についてについて回回回反复内内ででで收束收束收束できできませませんんんんん。。。残差残差がががまだまだまだまだ大きい大きい大きい大きいためため，（より大きなをしてアルゴリズムの收束よりにすることもでき。。

1e-4100回回の反复使用し，再度システムを解き。。

X= bicg（一种，，，，b，，，，1e-4,100);

BICG在迭代100停止而没有收敛到所需的公差0.0001，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（数字7）具有相对残留的0.45。

许容が反复回数が多い场合も，误差は向上しししませんんん。。反复アルゴリズムアルゴリズムがこのこの方法方法でするする场合，前前

一种の不コレスキー分解を，，bicgへの处理行列入ててL'因子を使用ます。

l = iChol（a）;x = bicg（a，b，1e-4,100，l'）;

bicg converged at iteration 65 to a solution with relative residual 6.7e-05.

前处理を使用する，，bicgが收束できるまで問題の数値特性が向上します。

線形システムを解くために前処理行列をbicgと使用效果を调べ。。

479行479列の非実実ス行列行列行列行列行列行列をををを。

加载West0479a = west0479;

$\mathrm{斧头}=\mathit{b}$に対する真解すべてすべてすべてのベクトルによう，，bを定义し。

b=sum(A,2);

許容誤差と最大反復回数を設定します。

托尔=1e-12; maxit = 20;

bicgを使用，され许容许容回数で解を求めますます。。解法プロセスにに关する关する情报ををを返す返す返す返す出力出力出力出力

[x，fl0，rr0，it0，rv0] = bicg（a，b，tol，maxit）;FL0

FL0=1

rr0

RR0 = 1

IT0

IT0=0

FL0は，bicg20回回数回回回以内要求した误差误差1e-12に收束なかった，，，ととます。実际，bicgの动作良好でないため推定推定X0=zeros(size(A,2),1)が最適解であり、IT0=0で示さとおりこれが返され。。

遅い収束への対応として、前処理行列を指定できます。一种は非対称ため，伊卢を使用て前处理行列 $\mathit{m}=\mathit{l}\mathit{你}$を生成。弃许容误差をし，，，1e-6よりもをもつ対角エントリをし。。。bicgへの入力としてlおよび你を指定して、前処理された系 ${\mathit{m}}^{-1}\mathit{一种}\mathit{X}={\mathit{m}}^{-1}\mathit{b}$を解きます。

setup = struct('类型'，，，，'ilutp'，，，，'Droptol'，，，，1e-6); [L,U] = ilu(A,setup); [x1,fl1,rr1,it1,rv1] = bicg(A,b,tol,maxit,L,U); fl1

FL1 = 0

rr1

rr1 = 4.1409e-14

IT1

IT1 = 6

伊卢前处理を使用する，，6 回目の反復で1e-12の指定の許容誤差より少ない相対残差が生成されます。出力RV1（1）はnorm(b)，出力rv1(end)はnorm(b-A*x1)になります。

各反復での相対残差をプロットして、bicgの进行确认ます。指定れ许容误差ラインととににに，それぞれの解のの残差履歴ををプロットプロット

半学（0：长度（RV0）-1，Rv0/norm（b），'-o'）holdonsemilogy(0:length(rv1)-1,rv1/norm(b),'-o'）yline（tol，'r--'）；传奇（“没有预处理”，，，，'ilu preponditioner'，，，，'宽容'，，，，'Location'，，，，'东方'）Xlabel('迭代编号'）ylabel(“相对残留”）

bicgに解初期を指定效果を调べます。

三重対角スパース行列を作成します。 $\mathit{X}$の想定れるがががののとなる，， $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$の右辺のベクトルとして各行の合計を使用します。

n = 900; e = ones(n,1); A = spdiags([e 2*e e],-1:1,n,n); b = sum(A,2);

bicgを使用して $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$を2回解きます。1 回は既定の初期推定、もう 1 回は解の適切な初期推定を使用します。両方の解に対して 200 回の反復と既定の許容誤差を使用します。すべての要素が0.99と等価ベクトル初期推定ををを番目のに指定します。。

最大=200; x1 = bicg(A,b,[],maxit);

BICG以迭代35收敛到具有相对残留9.5E-07的溶液。

X0=0.99*e; x2 = bicg(A,b,[],maxit,[],[],x0);

BICG在迭代7中汇聚到具有相对残留8.7E-07的溶液。

この場合、初期推定を指定するとbicgをよりに收束せることができます。

x0 =零（size（a，2），1）;TOL = 1E-8;最大值= 100;为了k=1:4 [x,flag,relres] = bicg(A,b,tol,maxit,[],[],x0); X(:,k) = x; R(k) = relres; x0 = x;结尾

bicgに，系数行列一种の代わりに斧头および斧头を计算ハンドルをて线形システム解き。。。

非対称の対角作成します。をプレビューします。

a =画廊（'Wilk'，，，，21）+diag(ones(20,1),1)

a =21×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

この三重行列特殊なであるため，演算斧头を关数ハンドルで表すことができます。一种がベクトルする，结果ののの要素はととなります。结果结果ののははは一种の非ゼロの三重対角要素に対応します。

式 $\mathit{一种}\mathit{X}$は次のようになります。

$\mathit{一种}\mathit{X}=[[\begin{array}{ccccccc}10& 2& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 1& 9& 2& 0& & & ⋮\\ 0& 1& \ddots & 2& 0& & \\ ⋮& 0& 1& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}这是给予的[[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}这是给予的=[[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+2{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+2{\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20}+2{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}这是给予的$

3つの，，つのベクトルの合计记述でき。。

$\mathit{一种}\mathit{X}=[[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+2{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+2{\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20}+2{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}这是给予的$= $[[\begin{array}{c}0\\ {\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20}\end{array}这是给予的+[[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1\\ {9\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{X}}_{20}\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}这是给予的+2\cdot [[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0\end{array}这是给予的$

同様に、 ${\mathit{一种}}^{\mathit{t}}\mathit{X}$の式次のになります。

${\mathit{一种}}^{\mathit{t}}\mathit{X}=[[\begin{array}{ccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 2& 9& 1& 0& & & ⋮\\ 0& 2& \ddots & 1& 0& & \\ ⋮& 0& 2& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 2& 10\end{array}这是给予的[[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}这是给予的=[[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {2\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20}+{\mathit{X}}_{21}\\ {2\mathit{X}}_{20}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}这是给予的$

${\mathit{一种}}^{\mathit{t}}\mathit{X}=[[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {2\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20}+{\mathit{X}}_{21}\\ {2\mathit{X}}_{20}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}这是给予的=2\cdot [[\begin{array}{c}0\\ {\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20}\end{array}这是给予的+[[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1\\ {9\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{X}}_{20}\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}这是给予的+[[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0\end{array}这是给予的$

m一种tl一种b® で、これらのベクトルを作成してそれらを合算し、フラグの入力に応じて斧头または斧头の値を与える関数を記述します。

功能y = afun（x，flag）如果strcmp（标志，'notransp'）% Compute A*xy = [0; x(1:20)]。。。+[[(10:-1:0)'; (1:10)'].*x。。。+2*[[X(2:end); 0];别的如果strcmp（标志，'transp'）％计算A'*Xy = 2*[0; x(1:20)]。。。+[[(10:-1:0)'; (1:10)'].*x。。。+[[X(2:end); 0];结尾结尾

（この关数，关数例の最后保存さていますます）

ここで，bicgに斧头および斧头を计算关数を与えて，システムシステム $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$を解きます。1e-6の許容誤差と 25 回の反復を使用します。 $\mathit{一种}$の行のとして $\mathit{b}$を指定し， $\mathit{X}$の真のががのとなるようにます。。

b = full（sum（a，2））;tol = 1e-6;最大值= 25;x1 = bicg（@afun，b，tol，maxit）

bicg converged at iteration 19 to a solution with relative residual 4.8e-07.

x1 =21×11。00001。0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 ⋮

功能y = afun（x，flag）如果strcmp（标志，'notransp'）% Compute A*xy = [0; x(1:20)]。。。+[[(10:-1:0)'; (1:10)'].*x。。。+2*[[X(2:end); 0];别的如果strcmp（标志，'transp'）％计算A'*Xy = 2*[0; x(1:20)]。。。+[[(10:-1:0)'; (1:10)'].*x。。。+[[X(2:end); 0];结尾结尾