関数nullを使用して、行列のヌル空間の正規直交基底ベクトルと有理基底ベクトルを計算します。行列のヌル空間には、 $\mathrm{Ax}=0$を満たすベクトル $\mathit{x}$が含まれます。

4 行 4 列の魔方陣行列を作成します。この行列はランク落ちであり、いずれかの特異値が 0 と等しくなっています。

A = magic(4)

A =4×416 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1

Aのヌル空間の正規直交基底を計算します。 $\mathit{A}{\mathit{x}}_1=0$であり、丸め誤差の範囲内であることを確認します。

x1 = null(A)

x1 =4×1-0.2236 -0.6708 0.6708 0.2236

norm(A*x1)

ans = 2.8952e-15

次に、ヌル空間の有理基底を計算します。 $\mathit{A}{\mathit{x}}_2=0$であることを確認します。

x2 = null(A,'r')

x2 =4×1-1 -3 3 1

norm(A*x2)

ans = 0

x1とx2は似ていますが、正規化では別になります。

劣決定システムについてある特定の解を求め、その後すべての解について一般的な形式を求めます。

劣決定の線形システム $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$は方程式より未知数の数が多くなります。劣決定システムは、無限に解をもつ場合もあれば、解がない場合もあります。システムの解が無限にある場合、その解はすべて一直線上にあります。直線上のすべての点は、ヌル空間ベクトルの線形結合により得られます。

2 行 4 列の係数行列を作成し、バックスラッシュを使用して方程式 $\mathit{A}{\mathit{x}}_0=\mathit{b}$を解きます。ここで、 $\mathit{b}$は 1 から成るベクトルです。バックスラッシュにより、問題の最小二乗解が計算されます。

A = [1 8 15 67; 7 14 16 3]

A =2×41 8 15 67 7 14 16 3

b = ones(2,1); x0 = A\b

x0 =4×10 0 0.0623 0.0010

劣決定システムの完全な一般解は $\mathit{x}={\mathit{x}}_0+\mathrm{Ny}$という形式になります。ここで、以下のようになります。

Aのヌル空間を計算し,その結果を使用してこの方程式系の別の解を求めます。新しい解が,丸め誤差の範囲内で $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$を満たしていることを確認します。

N = null(A)

N =4×2-0.2977 -0.8970 -0.6397 0.4397 0.7044 0.0157 -0.0769 -0.0426

x = x0 + N*[1; -2]

x =4×11.4963 -1.5192 0.7354 0.0093

norm(A*x-b)

ans = 2.8908e-14