这个例子演示了如何对薄板进行传热分析。
板为方形,温度沿底边固定。其他三条边没有热量传递(即它们是绝缘的)。热量通过对流和辐射从板的上下两面传递。因为包括了辐射,所以这个问题是非线性的。这个例子的目的之一是展示如何处理PDE问题中的非线性。
同时进行了稳态和瞬态分析。在稳态分析中,我们感兴趣的是在板达到平衡状态后,板上不同点的最终温度。在瞬态分析中,我们感兴趣的是板内温度作为时间的函数。这个瞬态分析可以回答的一个问题是,平板需要多长时间才能达到平衡温度。
这块板的平面尺寸是1米乘1米,厚1厘米。由于平板相对于平面尺寸来说相对较薄,可以假设温度在厚度方向上是恒定的;得到的问题是二维的。
假设在给定的环境温度下,板的两面之间发生对流和辐射传热。
由于对流从每个板面在单位面积内传递的热量定义为
在哪里 为环境温度, 温度是在板表面特定的x和y位置吗 为指定的对流系数。
在单位面积内,由于辐射从每个板面传递的热量定义为
在哪里 是脸的辐射率和 是斯特凡-玻尔兹曼常数。由于辐射传递的热量与表面温度的四次方成正比,所以这个问题是非线性的。
描述薄板温度的偏微分方程为
在哪里 为材料密度, 为比热, 为板厚,这两个因素决定了从板两面的传热。
用PDE工具箱所期望的形式重写这个方程是很方便的
该板由铜组成,铜具有以下特性:
k = 400;铜热导率%,W/(m-K)ρ= 8960;%铜密度,kg/m^3specificHeat = 386;铜比热% J/(kg-K)厚= . 01;%板厚,单位为米stefanBoltz = 5.670373 e-8;% Stefan-Boltzmann常数,W/(m^2-K^4)hCoeff = 1;%对流系数W/(m^2-K)假定环境温度为300开氏度。ta = 300;工作= 5;板面发射率%
使用单个因变量创建PDE模型。
numberOfPDE = 1;模型= createpde (numberOfPDE);
对于一个正方形,几何和网格很容易定义如下所示。
宽度= 1;身高= 1;
通过给出四个角的x位置和四个y位置来定义正方形。
GDM = [3 4 0 width width 0 0 0 height height]';g = decsg (gdm,“S1 ', (“S1 ') ');
将DECSG几何图形转换为几何对象,这样它就会被附加到PDEModel中
geometryFromEdges(模型中,g);
绘制几何图形并显示边界条件定义中使用的边缘标签。
图;pdegplot(模型,“EdgeLabels”,“上”);轴([-。1.1 - 1。1 1.1]);标题“显示边缘标签的几何图形”;
指定系数。通过将上面的方程与PDE工具箱文档中的标量抛物方程进行比较,可以很容易地确定PDE工具箱所需系数的表达式。
c =厚* k;
由于辐射边界条件,“a”系数是温度u的函数,将其定义为MATLAB表达式,以便在分析时对不同的u值进行计算。
a = @(~,state) 2*hCoeff + 2* miss*stefanBoltz*state.u.^3;f = 2*hCoeff*ta + 2* miss*stefanBoltz*ta^4;d = *ρ* specificHeat厚;specifyCoefficients(模型,“米”,0,' d ',0,“c”c“一个”一个,“f”f);
盘子的下边缘被设置为1000开氏度。
应用边界条件。板的三条边是绝缘的。因为在有限元公式中,诺伊曼边界条件等于零是默认值,所以这些边上的边界条件不需要明确设置。底边1上的所有节点都设置了狄利克雷条件,
applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”,“边缘”,1,“u”, 1000);
指定最初的猜测。
setInitialConditions(模型中,0);
在正方形上创建三角形网格,每个方向大约有10个元素。
hmax = 1;%的元素大小msh = generateMesh(模型,“Hmax”, hmax);图;pdeplot(模型);轴平等的标题“带有三角形网格元素的板”包含“x坐标,米”ylabel“坐标,米”
因为a和f系数是温度的函数(由于辐射边界条件),solvepde
自动选取非线性求解器求解。
R = solvepde(模型);u = R.NodalSolution;图;pdeplot(模型,“XYData”u“轮廓”,“上”,“ColorMap”,“喷气机”);标题“板内温度,稳态溶液”包含“x坐标,米”ylabel“坐标,米”轴平等的
p = msh.Nodes;plotAlongY (p, u, 0);标题“温度作为y坐标的函数”包含“坐标,米”ylabel的温度,开尔文
流(['板顶部边缘的温度='...' % 5.1 f degrees-K \ n”), u (4));
板块顶部边缘的温度= 449.8度k
包括d
系数。
specifyCoefficients(模型,“米”,0,' d 'd“c”c“一个”一个,“f”f);endTime = 5000;tlist = 0:50: endTime;numNodes =大小(p, 2);
请将所有节点的初始温度设置为环境温度,300k。
情况(1:numNodes) = 300;
将底边E1的初始温度设置为常数BC的值,即1000k。
1000年setInitialConditions(模型,“边缘”1);
设置下列求解器选项。
model.SolverOptions.RelativeTolerance = 1.0 e - 3;model.SolverOptions.AbsoluteTolerance = 1.0的军医;
用实际行动解决问题solvepde
.求解器自动选择抛物线求解器来获得解。
R = solvepde(模型、tlist);u = R.NodalSolution;图;:情节(tlist u (3));网格在标题[“沿顶部边缘的温度”..."盘子是时间的函数"]包含“时间,秒”ylabel的温度,开尔文图;pdeplot(模型,“XYData”u(:,结束),“轮廓”,“上”,“ColorMap”,“喷气机”);标题(sprintf ([《盘子里的温度》...'瞬态解(%d秒)\n'), tlist (1)));包含“x坐标,米”ylabel“坐标,米”轴平等的;流(['\nTemperature at the top edge(t = %5.1f secs) = '...' % 5.1 f degrees-K \ n”), tlist(结束),u (4));
顶部边缘温度(t = 5000.0秒)= 441.8度- k
在结束时间,由稳态解和瞬态解得到的板内温度曲线非常接近。即在约5000秒后,瞬态解达到稳态值。板上边缘的两种溶液的温度一致在1%以内。金宝搏官方网站