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ヒルベルト変換による単側波帯変調
この例は，離散ヒルベルト変換を使用して単側波帯変調を実装する方法を示します。
ヒルベルト変換は,変調器と復調器,音声処理,画像診断,到来方向(DOA)測定など,基本的に複素数信号(直交)処理の設計を簡素化する場合に利用できます。
はじめに
単側波帯(单边带)変調は振幅変調(AM)を効率的にした形式であり,使用する帯域幅は是の半分になります。この方法は，電話，アマチュア無線，hf通信などの音声に基づく通信用途でよく使用されています。この例は，ヒルベルト変換を使用してSSB変調を実装する方法にいて示します。
单边带変調においてヒルベルト変換の使用を推進するためには,両側波帯変調を最初に確認すると便利です。
両側波帯変調
両側波帯(双边带)変調は,是を簡単にした形式であり,通常,搬送周波数のいずれかの波帯において変調された信号の周波数をシフトした2つのコピーで構成されます。正確にはDSB抑圧搬送波と呼ばれ，以下のように定義されています。
ここで，<年代pan class="inlineequation"> は通常メッセ，ジ信号を示し，<年代pan class="inlineequation"> は搬送周波数を示します。上記の方程式で示すとおり，dsb変調は，搬送波<年代pan class="inlineequation"> をメッセ，ジ信号<年代pan class="inlineequation"> に乗算して算出します。したがって，フ，リエ変換の変調定理を使用して変換<年代pan class="inlineequation"> を計算できます。
ここで，<年代pan class="inlineequation"> は,<年代pan class="inlineequation"> の離散時間フ，リエ変換(dtft)です。メッセ，ジ信号が帯域幅<年代pan class="emphasis">“W”のロ，パスの場合，<年代pan class="inlineequation"> は帯域幅が2倍のバンドパス信号です。DSB信号とそのスペクトルの例を見てみましょう。
定义并绘制一个消息信号，其中包含在500,600，%和700hz，振幅变化。Fs = 10e3;t = 0:1/Fs:0.1-1/Fs;m =罪(2 *π* 500 * t) + 0.5 *罪(2 *π* 600 * t) + 2 *罪(2 *π* 700 * t);Plot (t,m) grid xlabel(<年代pan style="color:#A020F0">“时间”) ylabel (<年代pan style="color:#A020F0">“振幅”)标题(<年代pan style="color:#A020F0">'消息信号m(n)'）
ここでは，メッセ，ジ信号のパワ，スペクトルを計算してプロットします。
周期图(m, [], 4096, Fs,<年代pan style="color:#A020F0">“权力”，<年代pan style="color:#A020F0">“中心”) ylim([-75 12])
両面パワスペクトルは，dc付近の3のトンを明確に示しています。さらに拡大すると，各成分のパワ，を確認できます。
Xlim ([0.1 1]) ylim([-18 2])
500赫兹トーンのパワーは約6 dB, 600 Hzトーンのパワーは約-12分贝,700 Hzトーンのパワーは約0分贝です。これは,それぞれ,1,0.5,および2のメッセージ信号のトーン振幅に相当します。
このメッセ，ジ信号<年代pan class="inlineequation"> を使用して，搬送波を乗算してDSB信号を作成し，そのスペクトルを確認します。
Fo = 3.5e3;<年代pan style="color:#228B22">%载波频率，单位为HzF = m.*cos(2*pi*fo*t);Idx = 100;情节(t (1: idx), f (1: idx)、t (1: idx), m (1: idx),<年代pan style="color:#A020F0">“:”grid xlabel(<年代pan style="color:#A020F0">“时间”) ylabel (<年代pan style="color:#A020F0">“振幅”)标题(<年代pan style="color:#A020F0">“消息信号和消息信号调制”)传说(<年代pan style="color:#A020F0">“调制消息信号”，<年代pan style="color:#A020F0">'消息信号m(n)'）
青色の実線は変調されたメッセ，ジ信号，赤い点線はゆっくりと変化するメッセ，ジ信号です。変調信号のパワ，スペクトルは次のようになります。
4096年周期图(f, [], Fs,<年代pan style="color:#A020F0">“权力”，<年代pan style="color:#A020F0">“中心”) ylim([-75 0])
メッセジ信号(3のトン)<年代pan class="inlineequation"> にシフトします。さらに，各成分のパワ，は，変調された<年代pan class="inlineequation"> のDTFTが示すように振幅が半減したため，4分の1まで減少しています。さらに拡大して，新しいパワ，値を確認します。
-20 ylim ([0])
正の周波数成分は，-6 dB， -18 dB，および-12 dBです。
ここまでDSB変調を定義しました。次に単側波帯変調を確認します。
単側波帯変調
単側波帯(单边带)変調は双边带変調と似ていますが,スペクトル全体を使用する代わりに,フィルターを使用して下側波帯または上側波帯を選択します。下側波帯または上側波帯を選択すると,それぞれ下側波帯(LSB)変調または上側波帯(USB)変調が実行されます。単側波帯のいずれかを除去するには，フィルタ，とフェ，ジング法の2の方法があります。上側波帯または下側波帯を選択的にフィルター処理するプロセスは,特に信号成分が直流に近い場合,厳密なフィルターが必要になるため困難です。この例では，ssb変調の実装にヒルベルト変換を使用する，フェ，ジング法の使用方法を説明します。
单边带変調では,上側波帯または下側波帯のフィルター処理を避けるなどの理由で,双边带変調の場合と同様に周波数成分<年代pan class="inlineequation"> および<年代pan class="inlineequation"> のペアを作成せずにメッセ，ジ信号を別の中心周波数にシフトする必要があります。これは，ヒルベルト変換を使用して実行できます。
单边带変調での使用について説明する前に,まず理想的なヒルベルト変換の定義とプロパティを確認します。これによって，ssb変調で使用する理由がわかるでしょう。
理想的なヒルベルト変換
離散ヒルベルト変換は,信号の負の周波数の位相を90度進め,正の周波数の位相を90度遅らせるプロセスです。ヒルベルト変換(+<年代pan class="emphasis">j)の結果をシフトして，元の信号に追加すると，以下に示すような複素数信号が生成されます。
が<年代pan class="inlineequation"> のヒルベルト変換である場合，次になります。
これは，解析信号とも呼ばれる複素数信号です。以下のブロック線図は，理想的なヒルベルト変換を使用した解析信号の生成を示しています。
解析信号の重要な特徴の1が，キスト区間で存在することです。これは，解析(複素数)信号の虚数部を90度(+<年代pan class="emphasis">j)シフトし,これを実数部に追加することで,追加される正の周波数で負の周波数が打ち消されるためです。この結果，信号に負の周波数が存在しなくなります。また，複素数信号の周波数成分の振幅は，実信号の周波数成分の振幅の2倍になります。これは，片側スペクトルと似ていますが，正の周波数の信号の合計パワ，を含んでいます。
次に，スペクトルシフタ，に，いて説明します。スペクトルシフタは,シフトするスペクトルの信号から形成された解析信号を変調して、信号のスペクトル成分をシフト (変換) します。この概念は、後で説明する SSB 変調で使用します。
スペクトルシフタ
上記で定義したメッセ，ジ信号<年代pan class="inlineequation"> を使用して，ヒルベルト変換を使用し，解析信号を作成します。そして，この解析信号を目的の中心周波数に変調します。この仕組みを以下のブロック線図に示します。
このスペクトルシフト方法を使用すると,最終的な実数値信号を維持しながら信号のパワーを目的の周波数にシフトできます。
これまでに説明したように，解析信号は元の実数値信号とその実信号のヒルベルト変換で構成されます。信号处理工具箱™ で関数 hilbert を使用して実信号を実行すると、解析信号が生成されます。
メモ:関数希尔伯特は虚数部だけでなく，全体的な解析(複素数)信号を生成します。
MC = hilbert(m);
メッセ，ジ信号<年代pan class="inlineequation"> から作成された解析信号のスペクトル成分を計算してプロットします。
周期图(Fs mc,[], 4096年,<年代pan style="color:#A020F0">“权力”，<年代pan style="color:#A020F0">“中心”) ylim([-75 6])
スペクトルプロットに示されているように,解析信号は複素数信号で,正の周波数成分のみが含まれています。さらに,パワーを測定するか,正の周波数成分でプロットをさらに拡大すると,解析信号の周波数成分のパワーが実信号の正の(または負の)周波数成分の合計パワーの2倍であることがわかります。たとえば，これは，信号の合計パワ，を含んでいる片側スペクトルに似ています。以下の拡大したプロットを参照してください。
Xlim ([0.1 1]) ylim([-10 6])
解析(複素数)信号の周波数成分500 Hz, 600 Hz,および700 Hzのパワーは,それぞれ約0,6 dB,および6 dBで,元の信号の合計パワーです。これらの値は,それぞれ振幅が1,0.5,および2の3つのトーンをもつ元の実数値信号に相当します。
このとき,周波数成分のペアを作成せずに,解析信号を変調してスペクトル成分を別の中心周波数にシフトすると共に,実数値信号を維持できます。
信号を搬送周波数<年代pan class="inlineequation"> に変調するには，指数を解析信号に乗算します。
MCM = Mc .*exp(1i*2*pi*fo*t);
スペクトルシフタ，のブロック線図に示すように，信号を変調したら，実数部を計算します。スペクトルは次のとおりです。
周期图(真正的(mcm),[], 4096年,Fs,<年代pan style="color:#A020F0">“权力”，<年代pan style="color:#A020F0">“中心”) ylim([-75 0])
上記のプロットに示すように，周波数のペアを作成せずに信号が新しい中心周波数<年代pan class="inlineequation"> に変調されました。この場合は上側波帯が生成されました。
上記のスペクトルプロットと双边带変調のスペクトルプロットを比較すると,スペクトルシフターによって单边带変調が実行されたことを確認できます。
SSB変調の効率的な実装
これまでに導き出した内容から，ssb変調信号<年代pan class="inlineequation"> を次のように記述できます。
ここで，<年代pan class="inlineequation"> は次のように定義される解析信号です。
この式を展開して実数部を取り出すと，次のようになります。
この式によって，単側波帯として上側波帯(ssbu)が得られます。同様に，次の式によってSSB下側波帯(ssbl)を定義できます。
上記のssbu式から，さらに効率よくSSBを実装する方法がわかります。<年代pan class="inlineequation"> と<年代pan class="inlineequation"> の複素数乗算を行って虚数部を取り除くよりも,以下の方法でSSBUを実装して必要な値のみを計算できます。
上記のSSB変調を実装するには，メッセ，ジ信号<年代pan class="inlineequation">
のヒルベルト変換を計算し,両方の信号を変調しなければなりませんが,理想的なヒルベルト変換は現実的ではありません。ただし、Parks-McClellan冷杉フィルター設計法などのヒルベルト変換を近似するアルゴリズムが開発されており,使用できます。信号处理工具箱™では，このようなフィルタ，を設計する関数firpmが用意されています。また，このフィルタ，によって遅延が生じるため，遅延(<年代pan class="emphasis">N/2，ここで<年代pan class="emphasis">Nはフィルタ次数)を以下のように余弦項を乗算する信号に追加して遅延を補正する必要があります。
枞树ヒルベルト変換の場合，偶数長フィルタ，よりも計算が効率的な奇数長フィルタ，を使用します。偶数長フィルターを使用すると通過帯域誤差が小さくなりますが,奇数長フィルターを使用しない場合,これらのフィルターの係数の一部がゼロになります。また,奇数長フィルターを使用する場合,偶数長フィルターで必要な分数の時間遅れではなく,整数の時間遅れによるシフトが必要になります。奇数長フィルタ，の場合，ヒルベルト変換の振幅応答は，<年代pan class="inlineequation"> および<年代pan class="inlineequation"> のときゼロになります。偶数長フィルタ，の場合，振幅応答が<年代pan class="inlineequation"> で0である必要はないため，帯域幅が増大します。したがって，奇数長フィルタ，では，使用可能な帯域幅が次のように制限されます。
フィルタ，を設計して，ゼロ位相応答をプロットします。
Hd = designfilt(<年代pan style="color:#A020F0">“hilbertfir”，<年代pan style="color:#A020F0">“FilterOrder”现年60岁的<年代pan style="color:#0000FF">.．.“TransitionWidth”, 0.1,<年代pan style="color:#A020F0">“DesignMethod”，<年代pan style="color:#A020F0">“equiripple”）;hfv = fvtool(Hd，<年代pan style="color:#A020F0">“MagnitudeDisplay”，<年代pan style="color:#A020F0">“零”，<年代pan style="color:#0000FF">.．.“FrequencyRange”，<年代pan style="color:#A020F0">“(π-π)”）;hfv。颜色=<年代pan style="color:#A020F0">“白色”；
ヒルベルト変換を近似するには，フィルタ，を使用してメッセ，ジ信号をフィルタ，処理します。
m_tilde = filter(Hd,m);
上側波帯信号は次のようになります。
G = filtord(Hd)/2;<年代pan style="color:#228B22">%滤波器延迟m_delayed = [0 (1,G)，m(1:end-G)];f = m_delayed。* cos(2 *π* fo * t) - m_tilde。*罪(2 *π* fo * t);
スペクトルは次のようになります。
4096年周期图(f, [], Fs,<年代pan style="color:#A020F0">“权力”，<年代pan style="color:#A020F0">“中心”) ylim([-75 0])
上記のプロットからわかるように,メッセージ信号(3つのトーン)を3.5 kHzの搬送周波数に正常に変調して,上側波帯のみを維持できました。
まとめ
これまで見てきたように，ヒルベルト変換の近似を使用して，解析信号を生成できます。この方法は，スペクトルシフトを必要とする多くの信号アプリケ，ションで応用できます。特に，近似ヒルベルト変換を使用して単側波帯変調を実装する方法にいて説明しました。
参考
designfilt|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">希尔伯特|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">周期图
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