多年来，我整理了一些有用的工具来处理整数、同余、因数、除数等。这些工具都不需要使用符号工具箱，尽管我已经尽可能地让任何数字类都可以访问它们，包括double、syms、int64和我自己的VPIJ工具。
在这套工具中，您将找到列出数字的所有因子对、数字的模逆、refgf工具、勒让德和雅可比符号、离散对数、模平方根、欧拉totient函数等的函数。
例如，modSqrt解决了这个问题:
Mod (x^2,n) = a
对685取模，这个问题有两个解。金宝搏官方网站
x = modSqrt(15,685)
x =
120 565
国防部(x ^ 2685)
ans =
15 15
modInv解决了这个问题
Mod (a*x,n) = 1
x = modInv(12137)
x =
80
国防部(x * 12137)
ans =
1
有6对数字是36的因子对(如果我们假设这对数字的第一个元素永远不大于第二个元素)。
factorpairs (36)
ans =
1 36
2 18
3 12
4个9
6个6
modLog解决了通常所说的离散对数问题。它找到了解决问题的方法
Mod (a^x,n) == b
注意，这个解决方案不必是唯一的。
modLog(11760、9931)
ans =
137
所以，我们会
Mod (11^137,9931) == 760
当然，您不能使用mod计算结果，但是powerMod就足够了。
powerMod(11137、9931)
ans =
760
refgf对整数环中的矩阵进行行操作，对某个数N(有时称为GF(N))进行乘法模。
A = randi(2，[4,4]) - 1
一个=
1 10 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
1 0 1 1
[A,Abasis,Arank,Ainv] = rrefgf(A,2)
Arref =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Abasis =
1 2 3 4
Arank =
4
Ainv =
0 1 1
1 1 1 1
0 1 1 0
0 0 1 0
所以这个随机矩阵在GF(2)中是满秩的。作为逆的检验产生:
国防部(* Ainv, 2)
ans =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
有一些处理二次残差的工具。在这个例子中，P恰好是质数。
P = 10000019;
legendreSymbol(12345页)
ans =
－1
legendreSymbol(12346页)
ans =
1
如果legendreSymbol (a/p)为-1，则a不是二次余项。
A = 12345;
legendreSymbol (a, P)
ans =
－1
在这种情况下，不存在模平方根，因为a不是二次余数。
modSqrt (a, P)
警告:无解决方案因为同余根号rt存在
在modSqrt(123行)
ans =
［］
然而，12346是一个二次余项。
legendreSymbol (P + 1)
ans =
1
modSqrt (P + 1)
ans =
4722543 5277476
你可以找到一个数的所有二次残差的列表。(如果数字更大，这个列表会很长，所以要小心。)
quadraticResidues (100)
ans =
列1到15
0 1 49 16 21 24 25 29 36 41 44 49 56 61
列16到22
64 69 76 81 84 89 96
雅可比符号(a/P)的工作原理与勒让德符号类似，但用于复合模。
另一个简单的工具是properDivisors，这里只是因为它比类似的符号工具箱工具除器快得多。
properDivisors (210)
ans =
1 2 35 6 7 10 14 15 21 30 35 42 70 105
享受。
引用
约翰·迪里科(2022)。一套有限的基本数论工具(//www.tatmou.com/matlabcentral/fileexchange/122497-a-limited-set-of-basic-number-theoretic-tools)， MATLAB中央文件交换。取得済み．
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