从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
电流在RLC回路周围的流动求解一个有系数的线性方程l(电感),R(电阻),1 / C(C=电容)。
这个视频讲的是常微分方程在电流,网络中电流流动中的一个关键应用。我画了一个网络,一个非常简单的网络。它叫做RLC循环。它只有一个回路,所以它是一个非常简单的网络。
R代表流动阻力。L代表电感。C是。电容这是一个简单的线性常系数问题的三个元素与一个回路有关。然后有一个开关,我将关闭它,然后流动就开始了。这里有一个电压源,比如电池,或者让我们用交流电。
所以电压源是某个电压乘以e的i t次方,所以我们有交流电。问题是,电流是多少?我们要算出电流I,所以电流是I (t)绕着回路走。
我们看到微分方程有未知的I (t)而不是通常的y,我要用I表示电流。这是一个RLC循环,每个人都必须理解,在电气工程中。
我将得到一个二阶微分方程。你们会看到这个方程是什么。你们应该记得欧姆定律。电压等于电流乘以电阻。这就得到了电阻两端的电压。
如果电流是I,电阻是R,那么从这里到这里的电压降就是I乘以R,这就是这一项。但现在我也有,我的电流是随时间变化的。这是交流电。它上下波动。
所以电流也通过电感。在这里,电感上的电压降是这样的。电流的导数。在电容中,电荷在增加,电流的积分进来。
这就是表达电压定律的物理方程,也就是说,绕着一个闭合的回路——这是一个闭合的回路,回路是闭合的——加上0。我有四项,它们合起来等于0。
我想解一个方程。我怎么解这个方程呢?当我有常系数和纯指数强迫项时,用的是标准思想。我要找的解是这个指数的倍数,对吧?
常系数微分方程的解,如果它们有指数强迫,那么解是I等于W e的I t次方,源的一些倍数给出了微分方程的解。
它实际上是一个微分积分方程。我可以把它变成一个更熟悉的微分方程通过对每一项求导。假设我这样做。
假设我对每一项求导,让它看起来很熟悉。也就是L乘以I '对导数求导。这是RI '
积分的导数就是I本身。得到1 / ci,然后这里有导数,I V e的I t次方。
所以它只是一个标准的二阶常系数线性微分方程。事实上,如果你是一个机械工程师,你会说,我不知道L R和1 / C代表什么。但我知道我应该看到质量,阻尼,和刚度。
所以我们在两个重要的工程领域有一个完全的平行,电气工程有L, R,和1 / C,机械工程有M, B代表阻尼,K代表刚度。实际上,这种并行使得模拟计算机先于数字计算机出现,并在竞争中败下阵来。
模拟计算机只是通过施加电压和测量电流来解这个线性方程。模拟计算机通过建立模型和测量答案来解决这个方程。但我们不是在创造模拟计算机。我们只是在做微分方程。
我来算一下W是多少。那我该怎么办?和往常一样,我有这个方程。我有一个纯指数。我要找一个同样形式的解。我把它代入。得到W的方程。
这就是我下一块黑板要做的。我把W e ^ (I t)代入这个方程然后求出W。也许我可以把头发拿下来在这里做,你们可以看到我做。
L乘以导数。所以我有L .导数将降低IωL .一切都是用W和匹配诉我把这个方程时,导数是一个IωL W e Iωt,它匹配V e Iωt。
现在,当我把I代入第二项R,会发生什么,我就得到R R乘以W乘以e的I t次方,没问题。
最后,1 / c,积分。指数的积分写下来,我把它写在分母上,当我对e ^ (I t)积分时除以I,我要除以I。
就是这样。就是这样。这是三项,乘以W,未知数。这就是找。当然,我们马上就能找到它。
我们发现W等于V除以,现在我们看到这个I L加r,哦,我把I结合起来。把实部和虚部结合起来。实部是r,虚部是I L - 1 / I C。
简单。它有一个名字。这就是阻力。但是如果还有电感和电容的项,那么整个东西就叫做阻抗。所以这整个分母,叫做复阻抗。
相信我,所有这些想法都很重要。这里有一整套的词汇。但是你看,我们对其他常系数方程做了完全相同的事情。我们称系数为A B c或者M B K。
现在我们有了稍微不同的字母,但是我们没有新的概念。这个1除以,这个1除以阻抗,就是传递函数,它乘以源得到复数W, W是复数。
我现在得好好想想。阻抗通常被称为z,所以我们现在用一个新的字母来表示这个重要的量,它出现在分母上。它的实部是电阻。它的虚部来自于L和C。
我们可以很容易地看到阻抗有多大?电流的大小是多少?我们想要这个数字的大小。V是电压的大小。这是阻抗的大小。
答案会告诉我们w的大小,我用大小或大小来表示当我只计算大小时,你不会看到相位滞后。复数,比如这个复数的大小我们马上要写出来了。它还有一个相位滞后告诉我们有多少在虚部有多少在实部。
但规模很简单。复数的大小是多少?是实部的平方和虚部的平方。我想这应该是件好事。我不知道它怎么变成减号的。
它会变成减号,所以我想如果我把I写在上面。我来告诉你我在说什么。虚部是(L - 1) / c,我的意思是如果我把I写在上面,那么1 / I就是- I,这是我刚刚迈出的聪明的一步。
所有这些的平方。你同意吗?它是实部的平方,也就是电阻。这个组合给出了虚部。我们广场。这可能叫做反应物。这些平方的和就是阻抗的平方,也就是大小。
我们已经成功地解出了一个二阶常系数的电流方程。现在该做什么?我再加一点。也许只是一个评论。
那个视频是关于一个循环的。当我告诉Mohler博士其中一个应用,在这一系列视频中一个真正的应用是RLC电路,他的回答是RLC电路不是一个应用,不是一个现实的应用。一个循环。
那么我们如何处理一个有很多节点,很多电阻,很多导体,很多边的全尺寸电路呢?我们要做一个重要的决定。这就是我想说的。
他们有一个选择。他们可以在结点处使用基尔霍夫电流定律求解这些结点处的电压。或者他们可以像我们对一个回路做的那样,在这个回路周围使用基尔霍夫电压定律也就是说,回路中的电流使总电压降等于0。
所以我们解出了未知i的当前方程,这是我们对一个循环所做的。我的信息只是针对一个大系统,这是赢家。根据基尔霍夫电流定律写出方程,我们得到了节点图,每个节点都有一个方程而不是每个回路的方程。
因为很难看出哪些是要考虑的循环,哪些是其他循环的组合。问题是线性代数。而线性代数,要想得到独立清晰的环图,比结点图更难。
有未知电压的节点图,V在节点处,是好的。这个矩阵就是关联矩阵。它连接节点和边。上面写着网络是如何组成的。
这个矩阵,我会用一点线性代数来学习。这在后面的视频中会讲到。如果你寻找关联矩阵,你可能会看到两个关于这些非常非常重要和漂亮的矩阵的视频。谢谢你!
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