来自系列:解决matlab的杂物
Moller,Mathworks
ODE23将订单两者和三个的方法进行比较,以自动选择步长并保持指定的准确性。它是最简单的MATLAB解算器,具有现代功能,如自动误差估计和连续的内嵌。ODE23适用于诸如计算机图形等粗略精度要求。
实现现代数值方法的软件有两个功能,ode4和古典跑步等代码中不存在。软件中的方法可以估计误差并提供自动步骤尺寸控制。您未指定步骤h。您指定了您想要的准确性。而该方法估计它们随后的误差并相应地调整阶梯尺寸。它们提供完全准确的连续内延伸。他们不仅仅是在离散的点集中提供解决方案。它们提供了一个函数,可在间隔内各处定义解决方案。因此,您可以绘制它,找到函数的零,提供称为事件处理的设施,等等。
拉里·香平是常微分方程数值解方面的权威。他是关于用MATLAB解决ode的这本教科书的主要作者。他现在是达拉斯南卫理公会大学的名誉教授。他长期担任数学工程ODE套件开发的顾问。香潘和他的学生Przemyslaw Bogacki在1989年发表了这种方法。这是ODE23的基础,我们将在MATLAB ODE套件中使用的第一个方法。
基本方法是第三个。并且错误估计是基于订单三种方法之间的差异,然后是底层顺序两种方法。有四个斜坡。
第一个是间隔开始时函数的值。但这是基于叫做FSAL的东西,首先与上一个相同,那里那个斜率很可能从上一步中留下。如果上一步是成功的,则此函数值与上一步的最后一个函数值相同。
该斜率用于步进间隔中间,在那里进行评估功能。该斜率用于步骤3/4,横跨间隔和在那里获得的第三斜率。然后,这三个值用于采取步骤。Yn Plus 1是这三个功能值的线性组合。然后评估该功能以在间隔结束时获得第四个斜率。然后,这四个斜率用于估计错误。
这里的误差估计是yn + 1和另一种二阶方法得到的解的误差估计的差我们实际上没有计算。我们只需要这个方法和yn + 1的差值来估计误差。
将该估计误差与用户提供的公差进行比较。如果估计的误差小于容差,则步骤成功。并且该第四斜率S4成为下一步骤的S1。
如果答案大于容差,则错误可能是调整步长的基础。在任何一种情况下,错误估计都是调整下一步的步长的基础。这是Bogacki-Shampine订单3(2)方法,即颂歌23的基础。
让我们看看ode23的一些非常简单的用途只是为了开始。我将采取微分方程Y QUIME等于Y。所以我要把e计算到t。并且只需在0到1之间调用ODE23,初始值为1.没有输出参数。如果我称之为ode23,它只是绘制解决方案。这里是。它只是产生一个情节。它选择了一步大小,从0到1,它可以获得E-- 2.7的最终值。
如果我确实提供输出参数。我说t逗号y等于ode23,它回到了t和y的值。ODE23选择了它想要的值。这是一个微不足道的问题。它最终挑选了0.1的台阶。启动后,它会选择初始步长为.08,无论是错误的容差。y的最终值为2.718,这是e的价值。
所以这些是ODE23的两个简单用途。如果您不提供任何输出参数,它会绘制图形。如果要使用输出参数,t和y,则会回到t和y的值,选择t的值以满足错误。默认错误容差为10至minus 3.因此此值将准确到三位数。并肯定这就是我们得到的。
现在让我们尝试一些挑战的东西,以便在动作中看到自动错误控制的步长选择。设置等于四分之一。然后将Y0等于15.9。如果我将它设置为16,那么在一个平方中的1个,我会遇到一个奇点。现在微分方程是y素数等于2(减去t)倍y平方。我将在y0开始从0到1的间隔将此集成到ODE23,并将结果保存在T和Y中,然后绘制它们。所以这是我的绘图命令,并且有解决方案。
所以A有一个近奇点。它几乎爆发了。然后它落下了。因此,当你达到奇点并回来时,这些点被束缚在一起,但随着解决方案落下的时候,随后会变得更远。并且颂歌求解器能够更大的步骤。
要查看实际采取了哪些步骤,让我们计算T的差异,然后绘制。所以这是迈出的阶梯大小。我们看到,在0.25的几乎奇点附近拍摄了一小步尺寸。然后在朝向间隔结束时,采取更大的一步大小。然后,最后,刚刚达到间隔结束的步长被视为最后一步。因此,这是ode23的自动步骤尺寸选择。
BS23具有一个很好的自然跨议题,与它相同,这实际上已知超过100年。它被称为Hermite Cubic插值。我们知道两点决定直线。好吧,两点和两个斜坡决定了立方体。
在每个间隔上,我们有Y和Yn Plus 1.我们也有两个斜坡,即它。我们在终点,yn prime和yn加1的衍生品,这是这些点处的微分方程的值。因此,这四个值确定了通过这两点的立方体,并具有这两个斜坡。
这种立方体允许软件在间隔中的任何点处评估解决方案,而无需额外的成本,例如由函数f的添加评估所定义。这可用于绘制解决方案的图表,解决方案的漂亮平滑图,找到解决方案的零,请执行事件处理等。ODE23提供的另一个功能。
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