试图计算黎曼的计数函数J (x)

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托马斯。 2019年9月15日

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//www.tatmou.com/matlabcentral/answers/480492-trying-to-compute-riemann-s-prime-counting-function-j-x

评论道: 艾琳陈2021年8月1日

我想计算黎曼的计数函数J (x):

J (x)应该近似质数的数量< = x使用这段代码:

                         函数J_RiemannPrimeCount J (x) =
                        
                         如果x < 2
                        
                         错误(“x必须> = 2”);
                        
                         结束
                        
                         integral_fun = @ (t) (1。/ (t。* (t ^ 2 - 1)。*日志(t)));
                        
                         integral_term =积分(integral_fun x,正);
                        
                         zetaZeros = 0.5 + csvread (“第一个100 k黎曼zeta.txt 0”)。*我;
                        
                         maxZero = 35;
                        
                         k = 1:1: maxZero;
                        
                         Li_term = logint (x。^ zetaZeros (k))——logint (2);
                        
                         Li_sum =总和(Li_term);
                        
                         J_RiemannPrimeCount = (logint (x)——logint (2)) - Li_sum日志(2)+ integral_term;
                        
                         结束

文件“第一100 k黎曼ζ的0。txt”包含Imag-values Riemann-zeta-function的Re = 0.5(例如:14.134725142,21.022039639,25.010857580,30.424876126,32.935061588,....)。我用第一个maxZero这些近似J (x) = 35。

周期性的术语“Li_sum = sum (Li_term)”是不正确的,一切应该没事的。(我有点担心,我在这里做一个超级愚蠢的错误…)

谁能帮助如此. .? ?

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托马斯。 2019年10月6日

Li_sum第一1 k zeta.jpg 0

嗨,仍将非常感谢如果有人有一个想法在这里:

在计算显式黎曼'计数函数J (x) x = 2,…1000使用下面这个项目,我得到一个振荡术语Li_sum看起来像图中(见附件)。当地的最大值是在正确的地方(=确切位置的质数):然而Li_sum不应该降序的方式在这里干什么,但应该分布在零,因为它是“仅仅”平滑估计的误差项。所以必须有一种“调整”因素的地方——也许是造成这一事实Li_sum截断版本的条件收敛级数。

                               %的黎曼'计数函数J
                              
                               函数J_RiemannPrimeCount J (x) =
                              
                               如果x < 2
                              
                               错误(“x必须> = 2”);
                              
                               结束
                              
                               integral_fun = @ (t) (1。/ (t。* (t ^ 2 - 1)。*日志(t)));
                              
                               integral_term =积分(integral_fun x,正);
                              
                               zetaZeros = 0.5 + csvread (“第一个100 k黎曼zeta.txt 0”)。*我;
                              
                               maxZero = 1000;
                              
                               k = 1:1: maxZero;
                              
                               Li_term = logint (x。^ zetaZeros (k)) + logint (x) ^ (1-zetaZeros (k))) - 2 * logint (2);
                              
                               Li_sum =总和(Li_term);
                              
                               J_RiemannPrimeCount_smooth = (logint (x)——logint(2)) -日志(2)+ integral_term;% '估计没有振荡
                              
                               J_RiemannPrimeCount = (logint (x)——logint(2)) -日志(2)+ integral_term Li_sum;% '计数与振荡
                              
                               结束

任何想法,错误可能是……? ? ?

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答案(2)

Jyothis Gireesh 2019年9月18日

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//www.tatmou.com/matlabcentral/answers/480492-trying-to-compute-riemann-s-prime-counting-function-j-x answer_392375

这里有一些指针可能帮助解决的问题:

第二项Reimann的函数是通过对数积分计算x提高到不平凡的ζ函数的零。
由于金额是有条件地收敛,求和应该做的通过的0 ze助教函数p有航空经验的方式(ρ和1 -ρ),如下所示

在上述代码中,通过限制在35 0到第一个条目 “第一个100 k黎曼zeta.txt 0” 文件你可能违反成对求和条件导致和发散。因此,对于 ρ 值在第一个你可以添加相应的1 - 35条目 ρ 所以价值求和项是收敛的。

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托马斯。 2019年9月18日

谢谢你帮助我在这里……我已经试过这个。但是我不得到收敛和。我现在使用这个代码(下图)。0我添加越多“Li_sum”生长…

                                  函数J_RiemannPrimeCount J (x) =
                                 
                                  如果x < 2
                                 
                                  错误(“x必须> = 2”);
                                 
                                  结束
                                 
                                  integral_fun = @ (t) (1。/ (t。* (t ^ 2 - 1)。*日志(t)));
                                 
                                  integral_term =积分(integral_fun x,正);
                                 
                                  zetaZeros = 0.5 + csvread (“第一个100 k黎曼zeta.txt 0”)。*我;
                                 
                                  maxZero = 35;
                                 
                                  k = 1:1: maxZero;
                                 
                                  zetaZeros_maxZero = zetaZeros (1: maxZero);
                                 
                                  Li_term = logint (x。^ zetaZeros (k)) + logint (x) ^ (1-zetaZeros (k))) - 2 * logint (2);
                                 
                                  Li_sum =总和(Li_term);
                                 
                                  J_RiemannPrimeCount_test = (logint (x)——logint (2)) - 0 * Li_sum日志(2)+ integral_term;
                                 
                                  J_RiemannPrimeCount = (logint (x)——logint (2)) - Li_sum日志(2)+ integral_term;
                                 
                                  结束