定义资产的宇宙

的dowPortfolio.xlsx数据集包含30资产和一个基准。七从这个数据集包括资产投资宇宙在这个例子。假设无风险利率是零。

T = readtable (“dowPortfolio.xlsx”);

定义资产宇宙和提取的资产回报价格数据。

assetNames = [“AA”,“美国国际集团”,“京东商城”,“微软”,“BA”,“通用电气”,“IBM”];benchmarkName =“收”;头(T (:,“日期”benchmarkName assetNames]))

ans =8×9表日期收AA AIG京东商城microsoft英航GE IBM ___________ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 03 - 10847年1月- 2006 28.72 68.41 44.9 26.19 68.63 33.6 80.13 04 - 10880年1月- 2006 28.89 68.51 44.99 26.32 69.34 33.56 80.03 05 - 10882年1月- 2006 29.12 68.6 44.38 26.34 68.53 33.47 80.56 06 - 10959年1月- 2006 29.02 68.89 44.56 26.26 67.57 33.7 82.96 09 - 11012年1月- 2006 29.37 68.57 44.4 26.21 67.01 33.61 81.76 10 - 11012年1月- 2006 28.44 69.18 44.54 26.35 67.33 33.43 82.1 11043年1月- 2006年11 - 28.05 69.6 45.23 26.63 68.3 33.66 82.19 12 - 1月- 2006 10962 27.68 69.04 44.43 26.48 67.9 33.25 81.61

retnsT = tick2ret (T(:, 2:结束));assetRetns = retnsT (:, assetNames);benchRetn = retnsT (:,“收”);numAssets =大小(assetRetns, 2);

指定的市场观点

投资分析师的观点代表了主观的观点关于未来的市场变化,表示为 $\mathit{问}=\mathit{P}*\mu +\epsilon ,\epsilon ~\mathit{N}\left(0,\Omega \right),\Omega =\mathrm{诊断接头}\left({\omega }_1,{\omega }_2,。。。{\omega }_{\mathit{v}}\right)$,在那里v是总数的观点。有关更多信息,请参见附录部分假设和视图。与v视图和k资产, $\mathit{P}$是一个v——- - - - - -k矩阵, $\mathit{问}$是一个v1向量, $\Omega$是一个v——- - - - - -v对角矩阵(代表独立视图)的不确定性。视图不一定需要彼此独立的结构 $\Omega$可以选择占投资分析师的观点的不确定性(4]。越小 ${\omega }_{\mathit{我}}$在 $\Omega$方差越小,分布的我th视图,更强或更特定的投资者我视图。这个例子假设三个独立的观点。

v = 3;%总3视图P = 0 (v, numAssets);q = 0 (v, 1);ω= 0 (v);%的观点1P (1, assetNames = =“美国国际集团”)= 1;问(1)= 0.05;ω(1,1)= 1 e - 3;%视图2P (2, assetNames = =“京东商城”)= 1;问(2)= 0.03;ω(2,2)= 1 e - 3;%视图3P (3 assetNames = =“微软”)= 1;P (3 assetNames = =“IBM”)= 1;问(3)= 0.05;ω(3)= 1 e-5;

可视化的三个观点在表的形式。

viewTable = array2table ([P q诊断接头(ω),“VariableNames”,(assetNames“View_Return”“View_Uncertainty”])

viewTable =3×9表AA AIG京东商城microsoft英航GE IBM View_Return View_Uncertainty __ ___ ____ ____ __ __ ____ ___________ ___________ 0 1 0 0 0 0 0 0.05 0.001 0 0 1 0 0 0 0 0.03 0.05 0.001 0 0 0 1 0 0 1 1 e-05

因为回报dowPortfolio.xlsx数据集是每日回报,年回报率上的观点是,您必须将视图在日常的回报。

bizyear2bizday = 1/252;q = q * bizyear2bizday;ω=ω* bizyear2bizday;

估计的协方差的历史资产回报

$\Sigma$的协方差是历史的资产回报。

σ= x (assetRetns.Variables);

定义的不确定性C

Black-Litterman模型假设的结构 $\mathit{C}$协方差成正比吗 $\Sigma$。因此, $\mathit{C}=\tau \Sigma$,在那里 $\tau$是一个小的常数。一个更小的 $\tau$表明之前的信仰的信心越高 $\mu$。他的工作和Litterman使用值为0.025。其他作者建议使用1 /n在哪里n是数据点的数量用于生成的协方差矩阵3]。这个示例使用1 /n。

τ= 1 / (assetRetns大小。变量,1);C =στ*;

市场均衡回报

没有任何观点,平衡收益可能等于隐含收益平衡投资组合。在实践中,适用的平衡投资组合可以是任何最优投资组合的投资分析师使用没有额外的对市场的看法,如基准投资组合,一个索引,甚至目前的投资组合(2]。在本例中,您使用线性回归来找到一个市场投资组合跟踪收基准的回报。然后,您使用市场投资组合作为平衡投资组合和平衡返回隐含于市场投资组合。的findMarketPortfolioAndImpliedReturn中定义的函数,本地函数,实现了均衡的回报。此函数将历史资产的回报率,基准回报率作为输入和输出市场投资组合和相应的隐含的回报。

wtsMarketπ= findMarketPortfolioAndImpliedReturn (assetRetns。变量,benchRetn.Variables);

计算估计意味着回归和协方差

使用 $\mathit{P},\mathit{问},\Omega ,\pi ,$和 $\mathit{C}$输入计算混合使用Black-Litterman资产收益和方差模型。

你可以计算 $\stackrel{-\; -\; -\; -\; -\; -}{\mu }$和 $\mathrm{浸}\left(\mu \right)$直接用这个矩阵操作:

$\stackrel{-\; -\; -\; -\; -\; -}{\mu }={\left({\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\right]}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\left({\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{问}+{\mathit{C}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\pi \right]$, $\mathrm{浸}\left(\mu \right)={\left({\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\right]}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}$

mu_bl = (P ' *(ω\ P) +发票(C)) \ (C \ PI + P”*(ω\问));cov_mu =发票(P”*(ω\ P) +发票(C));

比较混合预期收益从Black-Litterman模型之前信仰的预期回报 $\pi$,你会发现,预期回报率从Black-Litterman模型的确是一个混合先验信念和投资者的观点。例如,如下表所示,先前的信念假设类似微软和IBM的收益,但在混合预期回报,微软有一个更高的回报比IBM 4%以上。这种差异是由于施加强大的IBM认为microsoft优于5%。

表(assetNames’,π* 252,mu_bl * 252,“VariableNames”,(“Asset_Name”,…“Prior_Belief_of_Expected_Return”,“Black_Litterman_Blended_Expected_Return”])

ans =7×3表Asset_Name Prior_Belief_of_Expected_Return Black_Litterman_Blended_Expected_Return __________ _______________________________ _______________________________________“AA”0.19143 - 0.19012“美国国际集团(AIG) 0.15754 - 0.1408 0.14432 - 0.13303“京东商城”“微软”0.14071 - 0.17557 0.21108 - 0.2017“BA”“通用电气”0.13323 - 0.12525 0.14816 - 0.12877“IBM”

投资组合优化和结果

的投资组合金融工具箱™对象实现了马科维茨均值-方差投资组合优化框架。使用一个投资组合对象,您可以找到有效投资组合对于一个给定的风险和回报水平,你也可以最大化的夏普比率。

使用estimateMaxSharpeRatio与投资组合找对象分配的最大Sharpe比率以下组合:

端口=组合(“NumAssets”numAssets,“磅”0,“预算”, 1“名字”,“均值-方差”);= setAssetMoments港(港口,意味着(assetRetns.Variables),σ);但是= estimateMaxSharpeRatio(港口);portBL =组合(“NumAssets”numAssets,“磅”0,“预算”, 1“名字”,“均值-方差与Black-Litterman”);portBL = setAssetMoments (portBL mu_bl,σ+ cov_mu);wtsBL = estimateMaxSharpeRatio (portBL);ax₁=情节(1、2、1);但是idx = > 0.001;派(ax₁, wts (idx), assetNames (idx));标题(ax₁,端口。的名字,“位置”,-0.05,1.6,0);ax2 =情节(1、2、2);idx_BL = wtsBL > 0.001;派(ax2 wtsBL (idx_BL), assetNames (idx_BL));标题(ax2 portBL。的名字,“位置”,-0.05,1.6,0);

表(assetNames’, wtsBL出世“VariableNames”,(“AssetName”,“Mean_Variance”,…“Mean_Variance_with_Black_Litterman”])

ans =7×3表AssetName Mean_Variance Mean_Variance_with_Black_Litterman _____ _________________ __________________________________“AA”1.1823 e-16 0.1115“美国国际集团(AIG)”1.2052 e-17 0.23314“京东商城”4.6763 e-18 0.098048“微软”0.059393 - 0.15824 0.32068 - 0.10748“BA”“通用电气”1.576 e15汽油0.1772“IBM”0.61993 - 0.11439

当你使用的值混合资产回报和从Black-Litterman模型协方差均值-方差优化、最优分配直接反映投资分析师的意见。分配从Black-Litterman模型更加多元化,如饼图所示。同时,资产之间的权重Black-Litterman模型同意投资分析师的观点。例如,当你在考虑对比Black-Litterman结果与纯均值-方差最优化的结果,您可以看到Black-Litterman结果是更多地投资于比IBM microsoft。这是因为投资分析师有强烈认为微软将超越IBM。

本地函数

函数[wtsMarket,π]= findMarketPortfolioAndImpliedReturn (assetRetn benchRetn)%的市场投资组合跟踪基准及其对应的默示预期回报。

隐含收益是由反向优化计算。假设无风险利率是零。将军制定的马科维茨投资组合优化的优化问题: $$\underset{\omega }{\mathrm{参数}\mathrm{马克斯}}{\omega }^T\mu -\; -\; -\; -\; -\; -\frac{\delta }{2}{\omega }^T\Sigma \omega$$。在这里 $$\omega$$是一个N元资产权重向量, $$\mu$$是一个N元向量的预期资产的回报, $$\Sigma$$是N——- - - - - -N协方差矩阵的资产回报 $$\delta$$是一个积极的风险规避参数。鉴于 $\delta$,在没有约束的情况下,一个封闭的形式解决这个问题 $$\omega =\frac{1}{\delta }{\Sigma }^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mu$$。因此,市场投资组合,默示预期回报 $$\pi =\delta \Sigma {\omega }_{米kt}$$。

计算一个隐含的预期回报,你所需要的 $$\Sigma ,{\omega }_{米kt},\delta$$。

1)找到 $$\Sigma$$。

$$\Sigma$$计算从历史的资产回报。

σ= x (assetRetn);

2)找到市场投资组合。

找到市场投资组合,对收回归。施加约束完全投入,只长: $$\underset{我=1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_{我}=1,0\le {\omega }_{我},\forall 我\in \{1,。。。,n\}$$

numAssets =大小(assetRetn, 2);磅= 0 (1、numAssets);Aeq = 1 (1、numAssets);说真的= 1;选择= optimoptions (“lsqlin”,“算法”,“内点”,“显示”,“关闭”);wtsMarket = lsqlin (assetRetn benchRetn, [], [], Aeq,说真的,磅,[],[],选择);

3)找到 $$\delta$$。

两边的 $$\pi =\delta \Sigma {\omega }_{米kt}$$与 $${\omega }_{米kt}^T$$输出 $$\delta =\frac{\mathrm{年代}h\mathrm{一个}rpeR\mathrm{一个}t我o}{{\sigma }_{米}}$$。基准是假定为最大化夏普比率和相应的值用作市场夏普比率。或者,您可以调整折合成年率夏普比率为0.5,从而导致shpr= 0.5 /√6(252)(1]。 $${\sigma }_{米}$$是市场投资组合的标准差。

shpr =意味着(benchRetn) /性病(benchRetn);σδ= shpr /√wtsMarket ' * * wtsMarket);

4)计算隐含预期回报。

假设市场投资组合最大化的夏普比率,隐含返回,没有约束的影响,直接计算 $$\pi =\delta \Sigma \omega$$。

π=δσ* * wtsMarket;结束

附录:Black-Litterman模型贝叶斯框架下

假设和视图

假设宇宙是由投资k资产和资产回报的向量 $\mathit{r}$被建模为一个随机变量,多元正态分布 $\mathit{r}~\mathit{N}\left(\mu ,\Sigma \right)$。 $\Sigma$是历史的协方差资产的回报。未知模型参数是预期回报 $\mu$。从贝叶斯统计的角度来看,Black-Litterman模型试图估计 $\mu$通过结合投资分析师的观点(或“观测未来”)和一些先验知识 $\mu$。

此外,假设的先验知识 $\mu$是一个正态分布随机变量 $\mu ~\mathit{N}\left(\pi ,\mathit{C}\right)$(1、2]。在缺乏任何视图(观察),之前的意思 $\pi$可能是平衡的回报,隐含的平衡投资组合。在实践中,适用的平衡的投资组合持有不一定是平衡投资组合,而是一个目标最优投资组合的投资分析师使用没有额外的对市场的看法,如基准投资组合,一个索引,甚至目前的投资组合。 $\mathit{C}$代表之前的不确定性和Black-Litterman模型假设的结构 $\mathit{C}$是 $\tau \Sigma$。 $\tau$是一个小的常数,和许多作者使用不同的值。一个详细的讨论 $\tau$可以发现在3]。

观察是必要的进行统计推断 $\mu$。Black-Litterman模型,观察对未来资产回报的观点表达了在组合层面。一个视图是一个投资组合的预期回报的宇宙组成k资产。通常,投资组合回报率的不确定性,所以一个误差项添加到出发的。假设有一个总v的观点。对于一个视图 $\mathit{我}$, ${\mathit{p}}_{\mathit{我}}$是一个行向量维度1 xk, ${\mathit{问}}_{\mathit{我}}$是一个标量2]。

${\mathit{问}}_{\mathit{我}}$= ${\rm E}\left({\mathit{p}}_{\mathit{我}}*\mathit{r}|\mu \right]+{\epsilon }_{\mathit{我}},\mathit{我}=1,2,。。。,\mathit{v}$

你可以堆v视图垂直和 $\Omega$从所有视图的协方差是不确定性。假设的不确定性是独立的。

$\mathit{问}={\rm E}\left(\mathit{P}*\mathit{r}|\mu \right]+\epsilon ,\epsilon ~\mathit{N}\left(0,\Omega \right),\Omega =\mathrm{诊断接头}\left({\omega }_1,{\omega }_2,。。。{\omega }_{\mathit{v}}\right)$。

请注意, $\Omega$并不一定需要一个对角矩阵。投资分析师可以选择的结构 $\Omega$考虑到他们的观点的不确定性4]。

根据前面的假设 $\mathit{r}~\mathit{N}\left(\mu ,\Sigma \right)$,接下去

$\mathit{问}=\mathit{P}*\mu +\epsilon ,\epsilon ~\mathit{N}\left(0,\Omega \right),\Omega =\mathrm{诊断接头}\left({\omega }_1,{\omega }_2,。。。{\omega }_{\mathit{v}}\right)$。

贝叶斯Black-Litterman模型的定义

众所周知,基于贝叶斯统计: $\mathrm{后}\propto \mathrm{可能性}*\mathrm{之前}$。

在Black-Litterman模型的上下文中, $\mathrm{后}\propto \mathrm{可能性}*\mathrm{之前}$表示为 $\mathit{f}\left(\mu |\mathit{问}\right)$ $\propto$ $\mathit{f}\left(\mathit{问}|\mu \right)$* $\mathit{f}\left(\mu \right),$每一个贝叶斯术语定义如下(2]:

如前所述,后验分布 $\mu$也是一个正态分布。通过完成广场,可以推导出后验均值和协方差 $\stackrel{-\; -\; -\; -\; -\; -}{\mu }={\left({\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\right]}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\left({\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{问}+{\mathit{C}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\pi \right]$, $\mathrm{浸}\left(\mu \right)={\left({\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\right]}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}$。

最后,通过结合贝叶斯后验分布 $\mu$和模型的资产回报 $\mathit{r}~\mathit{N}\left(\mu ,\Sigma \right)$,然后后预测的资产回报 $\mathit{r}~\mathit{N}\left(\stackrel{-\; -\; -\; -\; -\; -}{\mu },\Sigma +\mathrm{浸}\left(\mu \right)\right)$。

引用