阶梯式悬臂梁设计问题

一端支承阶梯式悬臂梁，自由端施加荷载，如下图所示。金宝app梁必须能够承受给定的载荷，金宝app，在一个固定的距离的支持。金宝app梁的设计者可以改变梁的宽度()及身高()。我们假设悬臂的每个部分都有相同的长度，．

射束体积

光束的体积，，是各部分体积的总和

设计约束:1 -弯曲应力

考虑单个悬臂梁，其坐标中心在其横截面的中心在梁的自由端。某一点的弯曲应力在梁中，由下列方程给出

在哪里弯矩为，距离终端负载和的距离为梁的面积惯性矩。

现在，在图中所示的阶梯式悬臂梁中，梁各截面的最大弯矩为,在那里为到端荷载的最大距离，，用于梁的每一段。因此，最大应力为-梁的第一部分，，是由

最大应力出现在梁的边缘，．面积惯性矩梁的截面为

代入方程给了

悬臂各部分的弯曲应力不应超过最大许用应力，．因此，我们最终可以说明五个弯曲应力约束(悬臂的每一步一个)。

设计约束:2 -端部挠度

悬臂梁的端部挠度可以用卡斯蒂利亚诺第二定理计算

在哪里为梁的挠度，为由于施加的力而存储在光束中的能量，．

储存在悬臂梁中的能量为

在哪里作用力的力矩是在．

考虑到对于悬臂梁，我们可以把上面的方程写成

在哪里面积的转动惯量是悬臂的部分。评估积分给出以下表达式．

应用卡斯蒂利亚诺定理，给出了梁的端部挠度

现在，悬臂的末端挠度，，应小于最大允许挠度，，给出了下面的约束条件。

设计约束:3 -长宽比

对于悬臂的每个步骤，纵横比不得超过最大允许的宽高比，．也就是说,

为

描述优化问题

我们现在能够陈述问题，以找到最优参数的阶梯式悬臂梁给定的约束条件。

让，，，，，，，，和

最小化:

主题:

横梁的第一步只能加工到最近的厘米。也就是说,和必须是整数。其余的变量是连续的。变量的边界如下:-

这个问题的设计参数

对于本例中要解决的问题，梁必须支撑的端荷载为金宝app．

梁的长度和最大端部挠度为:

梁的每个步骤中的最大允许应力，

梁每一步的杨氏模量，

求解混合整数优化问题

我们现在解决中描述的问题描述优化问题．

定义适应度和约束函数

检查MATLAB文件cantileverVolume.m和cantileverConstraints.m查看适应度和约束函数是如何实现的。

关于线性约束的一个注意事项:当线性约束被指定为遗传算法，通常通过一个，b，Aeq和说真的输入。在这种情况下，我们通过非线性约束函数来指定它们。这是因为在这个例子的后面，一些变量将变成离散的。当问题中存在离散变量时，在非线性约束函数中指定线性约束要容易得多。另一种方法是修改线性约束矩阵，使其在变换的变量空间中工作，这不是平凡的，也许是不可能的。同样，在混合整数中遗传算法求解器中，线性约束与非线性约束没有任何区别，不管它们是如何指定的。

设置范围

创建包含下界的向量(磅)及上限约束(乌兰巴托）.

Lb = [1 30 2.4 45 2.4 45 1 30 1 30];Ub = [5 65 3.1 60 3.1 60 5 65 5 65];

设置选项

为了得到更精确的解，我们增加PopulationSize,MaxGenerations选项的默认值，并减少EliteCount和FunctionTolerance选项。这些设置的原因遗传算法使用更大的填充(增加PopulationSize)，增加设计空间的搜索(减少EliteCount)，并一直进行，直到其最佳成员的变化非常小(小功能容忍度)。我们还指定一个plot函数来监视惩罚函数的值为遗传算法的进展。

注意，有一个限制的集合遗传算法解决混合整数问题时可用的选项-详细信息，请参阅全局优化工具箱用户指南。

选择= Optimoptions（@ga，．..“PopulationSize”, 150,．..“MaxGenerations”, 200,．..“EliteCount”10．..“FunctionTolerance”1 e-8．..“PlotFcn”, @gaplotbestf);

调用遗传算法解决问题

我们现在可以调用遗传算法来解决这个问题。在问题陈述中和是整数变量。我们通过传递下标向量来指定它(1 2)来遗传算法在非线性约束输入之后，在期权输入之前。我们还在这里播种和设置随机数生成器以保证重现性。

rng (0,“旋风”）;[xb, fb, exitflag] = ga (@cantileverVolume 10 , [], [], [], [],．..lb, ub， @ cantileconstraints， [1 2]， opts);

优化终止:超过了最大代数。

分析结果

如果问题有整数约束，遗传算法哈贝马斯在内部。特别地，问题中的适应度函数被处理约束的惩罚函数所代替。对于可行种群成员，惩罚函数与适应度函数相同。

解从遗传算法如下显示。注意，最靠近支架的部分被限制为宽度(金宝app)及身高()，它是一个整数值，该约束已被GA遵守。

显示(xb);

xbest =列1至7 3.0000 60.0000 2.8504 57.0057 2.6114 50.6243 2.2132列8至10 44.2349 1.7543 35.0595

我们也可以问遗传算法以返回光束的最佳体积。

流('\nCost函数由ga = %g\n'返回、fb);

由ga = 63408.9返回的成本函数

添加离散非整数变量约束

工程师们现在被告知，悬臂的第二和第三个台阶的宽度和高度只能从标准设置中选择。在本节中，我们将展示如何将这个约束添加到优化问题中。注意，添加了这个约束后，这个问题与[1]中解决的问题是相同的。

首先，我们声明将添加到上述优化中的额外约束

为了解决这个问题，我们需要能够指定变量，，和离散变量。指定一个组件从集合中取离散值、优化与取值范围为1到的整型变量,并使用作为离散值。指定范围(1到），将1设置为下限作为上界。

首先，我们转换离散变量的上下限。每个集合有4个成员，我们将离散变量映射到[1,4]范围内的整数。为了把这些变量映射成整数，我们把每个变量的下界设为1上界设为4。

Lb = [1 30 1 1 1 1 1 30 1 30];Ub = [5 65 4 4 4 4 5 65 5 65];

的转换(整数)版本，，和将被传递到适应度和约束函数，当遗传算法解算器。为了正确计算这些函数，，，和需要转换为在这些功能中给定的离散集的成员。要查看此操作，请检查MATLAB文件cantileverVolumeWithDisc.m，cantileverConstraintsWithDisc.m和cantileverMapVariables.m．

现在我们可以调用遗传算法解决离散变量问题。在这种情况下都是整数。这意味着我们传递了下标向量1:6来遗传算法定义整型变量。

rng (0,“旋风”）;[xbestDisc, fbestDisc, exitflagDisc] = ga(@悬臂volumewithdisc，．..10、[]，[]，[]，lb, ub， @cantileverConstraintsWithDisc, 1:6, opts);

优化终止:超过了最大代数。

分析结果

xbestDisc(三6)是回来遗传算法作为整数(即处于转换状态)。我们需要反向转换以检索它们的工程单元中的值。

xbestDisc = cantileverMapVariables (xbestDisc);显示(xbestDisc);

xbestDisc =列1至7 3.0000 60.0000 3.1000 55.0000 2.6000 50.000 2.2430列8至10 44.8603 1.8279 36.5593

和以前一样，解决方案返回遗传算法尊重和都是整数。我们也可以看到，从一套[2.4,2.6,2.8,3.1]厘米和，选自设置[45,50,55,60] cm。

回想一下，我们在变量上添加了额外的约束x (3)，x (4)，x (5)和x (6)．正如预期的那样，当这些变量有额外的离散约束时，最优解决方案具有更高的最小容量。进一步注意，在[1]中报告的解决方案的最小体积是我们找到了一个近似于[1]的解。

流('\nCost函数由ga = %g\n'返回, fbestDisc);

GA = 64795返回的成本函数

概括

这个例子演示了如何使用遗传算法求解器，遗传算法，求解具有整数约束的非线性优化问题。这个例子也显示了如何处理离散变量的问题，在问题的公式化。

参考

Thanedar, P. B.和G. N. Vanderplaats。结构设计离散变量优化综述。土木工程学报，2004，(3):1 - 8。