计算考虑

技术计算中最重要的问题之一是联立线性方程组的解。

在矩阵表示法中，一般问题采用以下形式:给定两个矩阵一个而且b，是否存在唯一矩阵x，所以一个x＝b或x一个＝b?

考虑一个1乘1的例子是有指导意义的。例如，这个方程

有唯一的解决方案吗?

答案当然是肯定的。这个方程有唯一解x= 3。解很容易通过除法得到:

解决办法是不通常通过计算7的倒数得到，即7¹= 0.142857……,then multiplying 7¹由21。这将是更多的工作，如果7¹表示为有限位数，不太准确。类似的考虑适用于具有多个未知数的线性方程组;MATLAB^®不用计算矩阵的逆就能解出这样的方程。

虽然它不是标准的数学符号，但MATLAB使用标量情况中熟悉的除法术语来描述联立方程组的一般解。这两个除法符号，削减， /，和反斜杠、\、分别对应两个MATLAB函数mrdivide而且mldivide．这些运算符用于未知矩阵出现在系数矩阵左边或右边的两种情况:

想想把等式两边“除”斧头＝b或xA＝b通过一个．系数矩阵一个总是在“分母”。

的维度兼容性条件x = A\b需要两个矩阵一个而且b有相同的行数。解决方案x的列数与b它的行维数等于的列维数一个．为x = b/A时，行和列的角色互换。

在实践中，线性方程的形式斧头＝b出现的频率比形式的更频繁xA＝b．因此，反斜杠的使用频率远远高于斜杠。本节的其余部分将集中讨论反斜杠操作符;斜杠运算符的相应属性可以从恒等式中推断出来:

(b/A)' = (A'\b')。

系数矩阵一个不必是方形的。如果一个有大小米——- - - - - -n，则有三种情况:

通解

线性方程组的通解斧头＝b描述所有可能的解决方案。金宝搏官方网站你可以通过以下方法找到通解:

然后你可以写出任意解斧头＝b作为特解的和斧头＝b，从步骤2，加上一个线性组合的基向量从步骤1。

本节其余部分介绍如何使用MATLAB找到一个特解斧头＝b，如步骤2。

广场系统

最常见的情况是一个平方系数矩阵一个和一个右边的列向量b．

A = pascal(3);U = [3;1;4);x = A\u x = 10 -12

B =魔术(3);X = A\b X = 19 -3 -1 -17 4 13 6 0 -6

P = pinv(A)*b

A = [1 3 7 -1 4 4 1 10 18]

rank(A) ans = 2

pinv(A)* bans = 0.3850 -0.1103 0.7066

A*pinv(A)* bans = 5.0000 2.0000 12.0000

A*pinv(A)* bans = -1.0000 4.0000 2.0000

rref([A b]) ans = 1.0000 0 2.2857 00 1.0000 1.5714 0000 0 1.0000

超定的系统

这个例子说明了在各种曲线拟合实验数据时，如何经常遇到过定系统。

一个量y在几个不同的时间值上测量t产生以下观察结果。您可以输入数据并使用以下语句在表中查看它。

T = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';Y =[。]82 .72 .63 .60 .55 .50]';B = table(t,y)

B =6×2表T y ___ ____ 0 0.82 0.3 0.72 0.8 0.63 1.1 0.6 1.6 0.55 2.3 0.5

尝试用衰减指数函数对数据建模

$y（t）＝c_1+c_2{e}^{-t}$．

前面的方程表明向量y应该用另外两个向量的线性组合来近似。一个是包含所有向量的常数向量，另一个是含有分量的向量exp (- t)．未知系数， $$c_1$$而且 $$c_2$$，可以通过进行最小二乘拟合来计算，最小二乘拟合使数据与模型偏差的平方和最小化。两个未知数中有六个方程，用一个6 × 2矩阵表示。

E = [ones(size(t)) exp(-t)]

E =6×21.0000 1.0000 1.0000 0.7408 1.0000 0.4493 1.0000 0.3329 1.0000 0.2019 1.0000 0.1003

使用反斜杠运算符得到最小二乘解。

c = E\y

c =2×10.4760 - 0.3413

换句话说，与数据拟合的最小二乘是

下面的语句以有规律间隔的增量计算模型t，然后将结果与原始数据一起绘制:

T = (0:0.1:2.5)';Y = [ones(size(T)) exp(-T)]*c;情节(T Y“- - -”、t、y,“o”）

E * c不完全等于y，但这种差异很可能小于原始数据中的测量误差。

一个矩形矩阵一个是秩亏的如果它没有线性无关的列。如果一个秩亏，那么最小二乘解是Ax = b不是唯一的。一个\ B在以下情况下发出警告一个秩亏且产生最小二乘解。你可以使用lsqminnorm找到解决方案X它是所有解中的最小范数。金宝搏官方网站

欠定的系统

这个例子说明了欠定系统的解不是唯一的。欠定线性系统比方程包含更多的未知数。用MATLAB进行矩阵左除法运算，求出一个基本的最小二乘解米an的非零分量米——- - - - - -n系数矩阵。

这里有一个随机的小例子:

R = [6 8 7 3;3 5 4 1] rng(0);B = randi(8,2,1)

R = 6 8 7 3 3 5 4 1 b = 7 8

线性系统Rp = b涉及四个未知数中的两个方程。由于系数矩阵包含小整数，因此使用格式命令以合理格式显示解决方案。特解由

格式老鼠p = R\b

P = 0 17/7 0 -29/7

其中一个非零分量是(2页)因为R (: 2)的列R有最大的范数。另一个非零分量是(4页)因为R (: 4)后占主导地位R (: 2)就被消除了。

欠定系统的完全通解可以用加来表示p到零空间向量的任意线性组合，可以使用零功能与选项要求一个合理的基础。

Z = null(R，“r”）

Z = -1/2 -7/6 -1/2 /2 1 0 0 1

这是可以证实的R * Z这是残差吗R*x - b对任何向量都小吗x,在那里

x = p + Z*q

自从Z零空间向量是乘积吗Z *问是这些向量的线性组合:

为了说明，选择一个任意的问和构建x．

Q = [-2;1);x = p + Z*q;

计算残差的范数。

格式短范数(R*x - b)

Ans = 2.6645e-15

当有无穷多个解时，具有最小范数的解特别有意金宝搏官方网站义。你可以使用lsqminnorm计算最小范数最小二乘解。这个解决方案的值最小常模(p)．

p = lsqminnorm(R,b)

P = -207/137 365/137 79/137 -424/137

求解右手边方程

有些问题涉及求解具有相同系数矩阵的线性系统一个，但是右边不同b．时的不同值b同时可用，你可以构造吗b作为一个有几列的矩阵，用一个反斜杠命令同时求解所有方程组:X = A\[b1 b2 b3…]．

然而，有时不同的价值观b不能同时全部可用，这意味着你需要连续求解几个方程组。当您使用斜杠(/)或反斜杠(\)求解其中一个方程组时，运算符将系数矩阵因式分解一个并利用这个矩阵分解来计算解。但是，每次你求解一个类似的方程组时，你都会得到一个不同的b，运算符计算相同的分解一个，这是一个冗余计算。

这个问题的解决方法是预先计算的分解一个，然后再利用因子求解的不同值b．然而，在实践中，以这种方式预计算分解可能很困难，因为您需要知道要计算哪种分解(LU、LDL、Cholesky等等)，以及如何乘这些因子来解决问题。例如，使用LU分解，您需要求解两个线性系统来求解原始系统Ax = b：

[L,U] = lu(A);x = U \ (L \ b);

相反，推荐的方法来解决线性方程组有几个连续的右边是使用分解对象。这些对象使您能够利用预计算矩阵分解的性能优势，但是它们不需要了解如何使用矩阵因子。你可以用以下语句替换之前的LU分解:

dA =分解(A，“陆”）;x = dA\b;

如果您不确定使用哪种分解，分解(一)的属性选择正确的类型一个，类似于反斜杠。

下面是一个简单的测试，测试这种方法可能带来的性能好处。该测试使用反斜杠(\)和求解相同的稀疏线性系统100次分解．

N = 1e3;A = sprand(n,n,0.2) + speye(n);B = ones(n,1);%反斜杠解决方案抽搐为k = 1:100 x = A\b;结束toc

运行时间为9.006156秒。

%分解溶液tic dA =分解(A);为k = 1:100 x = dA\b;结束toc

运行时间为0.374347秒。

对于这个问题，分解解决方案比单独使用反斜杠快得多，但语法仍然简单。

迭代的方法

如果系数矩阵一个是大而稀疏，分解方法一般效率不高。迭代的方法生成一系列近似解。金宝搏官方网站MATLAB提供了几种迭代方法来处理大型稀疏输入矩阵。

多线程计算

MATLAB支金宝app持许多线性代数和元素数值函数的多线程计算。这些函数自动在多个线程上执行。为了让函数或表达式在多个cpu上更快地执行，必须满足以下几个条件:

发票，lscov，linsolve,mldivide在启用多线程时，在大型双精度数组(大约10,000个元素或更多)上显示速度的显著提高。