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eig

特征值和特征向量

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e = eig(A)
[V,D] = eig(A)
[V,D,W] = eig(A)
e = eig(A,B)
[V,D] = eig(A,B)
[V,D,W] = eig(A,B)
［___= eig(A,balanceOption)
［___= eig(A,B，算法)
［___= eig(___, outputForm)

描述

例子

e= eig (一个）返回一个包含方阵特征值的列向量一个．

例子

［V，D= eig(一个）返回对角矩阵D特征值和矩阵V哪些列是对应的右特征向量A* v = v * d．

例子

［V，D，W= eig(一个）也返回完整的矩阵W哪些列是对应的左特征向量W'* a = d *W'．

特征值问题是确定方程的解一个v＝λv,在那里一个是一个n——- - - - - -n矩阵,v列向量是长度吗n,λ是标量。的价值λ满足方程的是特征值。的对应值v满足方程的是正确的特征向量。左边的特征向量，w，满足方程w”一个＝λw”。

例子

e= eig (一个，B）返回包含方阵广义特征值的列向量一个而且B．

例子

［V，D= eig(一个，B）返回对角矩阵D广义特征值和完整矩阵V哪些列是对应的右特征向量A* v = b * v * d．

［V，D，W= eig(一个，B）也返回完整的矩阵W哪些列是对应的左特征向量W'* a = d *W'* b．

广义特征值问题是确定方程的解一个v＝λBv,在那里一个而且B是n——- - - - - -n矩阵,v列向量是长度吗n,λ是标量。的价值λ满足方程的是广义特征值。的对应值v是广义右特征向量。左边的特征向量，w，满足方程w”一个＝λw”B．

［___= eig(一个，balanceOption）,在那里balanceOption是“nobalance”，表示禁用算法中的初步均衡步骤。默认的balanceOption是“平衡”，从而实现平衡。的eig函数可以返回以前语法中的任何输出参数。

例子

［___= eig(一个，B，算法）,在那里算法是“胆固醇”的Cholesky因式分解B来计算广义特征值。默认的算法的属性一个而且B，但通常是“求”，该算法使用QZ算法。

如果一个是厄米式的B厄米特是正定的吗算法是“胆固醇”．

例子

［___= eig(___，outputForm）以指定的形式返回特征值outputForm使用以前语法中的任何输入或输出参数。指定outputForm作为“向量”返回列向量或中的特征值“矩阵”返回对角线矩阵中的特征值。

例子

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使用画廊创建一个对称正定矩阵。

画廊(“黄土”4)
一个=4×41.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 1.0000 0.6667 0.5000 0.3333 0.6667 1.0000 0.7500 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000

计算的特征值一个．结果是一个列向量。

e = eig(A)
e =4×10.2078 0.4078 0.8482 2.5362

另外,使用outputForm返回对角线矩阵中的特征值。

D = eig(A，“矩阵”）
D =4×40.2078 0 0 0 0 0.4078 0 0 0 0 0.8482 0 0 0 0 2.5362
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使用画廊创建一个循环矩阵。

画廊(“线性”3)
一个=3×31 2 3 3 1 2 2 3 1

计算的特征值和右特征向量一个．

[V,D] = eig(A)
V =3×3复杂-0.5774 + 0.0000i 0.5774 + 0.0000i 0.5774 + 0.0000i -0.2887 - 0.5000i -0.2887 + 0.5000i -0.5774 + 0.0000i -0.2887 + 0.5000i -0.2887 - 0.5000i
D =3×3复杂6.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 -1.5000 + 0.8660i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 -1.5000 - 0.8660i

验证结果是否满足要求A* v = v * d．

A* v - v * d
ans =3×3复杂10-14年× -0.2665 + 0.0000i -0.0888 - 0.0111i -0.0888 + 0.0111i 0.0888 + 0.0000i 0.0000 + 0.0833i 0.0000 - 0.0833i -0.0444 + 0.0000i -0.1157 + 0.0666i -0.1157 - 0.0666i

理想情况下，特征值分解满足关系。自eig然后使用浮点计算执行分解* V最多能接近吗V * D．换句话说，A* v - v * d很接近，但不完全是，0．

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默认情况下eig并不总是按顺序返回特征值和特征向量。使用排序函数将特征值按升序排列并重新排列相应的特征向量。

计算5 × 5魔方阵的特征值和特征向量。

A =魔术(5)
一个=5×517 24 18 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
[V,D] = eig(A)
V =5×5-0.4472 0.0976 -0.6330 0.6780 -0.2619 -0.4472 0.3525 0.5895 0.3223 -0.1732 -0.4472 0.5501 -0.3915 -0.5501 0.3915 -0.4472 -0.3223 0.1732 -0.3525 -0.5895 -0.4472 -0.6780 0.2619 -0.0976 0.6330
D =5×565.0000 0000 -21.2768 0000 0 -13.1263 0000 0 21.2768 0000 0 13.1263

的特征值一个在对角线上D．然而，特征值是未排序的。

的对角线上提取特征值D使用诊断接头(D)，然后对得到的向量进行升序排序。的第二个输出排序返回索引的排列向量。

[d,ind] = sort(diag(d))
d =5×1-21.2768 -13.1263 13.1263 21.2768 65.0000
印第安纳州=5×12 3 5 4 1

使用印第安纳州的对角线元素重新排序D．因为特征值在D对应于的列中的特征向量V的列也必须重新排序V使用相同的索引。

Ds = D(ind,ind)
Ds =5×5-21.2768 0000 0 -13.1263 0000 13.1263 0000 21.2768 0000 0 65.0000
V = V(:，ind)
和=5×50.0976 -0.6330 -0.2619 0.6780 -0.4472 -0.3525 0.5895 -0.1732 0.3223 -0.4472 0.5501 -0.3915 0.3915 -0.5501 -0.4472 -0.3223 0.1732 -0.5895 -0.3525 -0.4472 -0.6780 0.2619 0.6330 -0.0976 -0.4472

这两个(V, D)而且(Vs Ds)的特征值分解一个．的结果* V-V * D而且* Vs-Vs * Ds同意，直到舍入误差。

e1 =范数(A*V-V*D);e2 =范数(A*Vs-Vs*Ds);E = abs(e1 - e2)
E = 0
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创建一个3 × 3矩阵。

A = [1 7 3;2 9 12;5 22 7];

计算右特征向量，V，特征值，D，左特征向量，W．

[V,D,W] = eig(A)
V =3×3-0.2610 -0.9734 0.1891 -0.5870 0.2281 -0.5816 -0.7663 -0.0198 0.7912
D =3×325.5548 0 0 0 -0.5789 0 0 0 -7.9759
W =3×3-0.1791 -0.9587 -0.1881 -0.8127 0.0649 -0.7477 -0.5545 0.2768 0.6368

验证结果是否满足要求W'* a = d *W'．

W'* a - d *W'
ans =3×310-13年× -0.0266 -0.2132 -0.1243 0.0056 -0.0286 -0.0072 -0.0022 0 -0.0178

理想情况下，特征值分解满足关系。自eig然后使用浮点计算执行分解W”*最多能接近吗D * W '．换句话说，W'* a - d *W'很接近，但不完全是，0．

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创建一个3 × 3矩阵。

A = [3 10 0;0 3 1;0 0 3];

计算的特征值和右特征向量一个．

[V,D] = eig(A)
V =3×31.0000 -1.0000 1.0000 0 0.0000 -0.0000 00 0.0000
D =3×33 0 0 0 3 0 0 0 3

一个有重复的特征值特征向量是不独立的。这意味着一个不能对角，因此是有缺陷的。

验证V而且D满足方程，A* v = v * d，即使一个是有缺陷的。

A* v - v * d
ans =3×310-15年× 0 0.8882 -0.8882 00 0.0000 0000

理想情况下，特征值分解满足关系。自eig然后使用浮点计算执行分解* V最多能接近吗V * D．换句话说，A* v - v * d很接近，但不完全是，0．

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创建两个矩阵，一个而且B，然后对特征值和右特征向量求解广义特征值问题(A, B)．

A =[1/√(2)0;0 1];B = [0 1;1 /√(2)0];[V D] = eig (A, B)
V =2×2复杂1.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.7071i 0.0000 + 0.7071i
D =2×2复杂0.0000 + 1.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 1.0000i

验证结果是否满足要求A* v = b * v * d．

A* v - b * v * d
ans =2×20 0 0 0

剩余误差A* v - b * v * d等于0。

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创建一个条件差的对称矩阵，其中包含接近机器精度的值。

格式长eA = diag([10^-16, 10^-15])
一个=2×21.000000000000000e-16 00 1.00000000000e -15

使用默认算法计算广义特征值和一组右特征向量。在本例中，默认算法为“胆固醇”．

[V1,D1] = eig(A,A)
V1 =2×21.000000000000000e+08 00 3.162277660168380e+07
D1 =2×29.999999999999999e-01 00 1.000000000000000e+00

现在，计算广义特征值和一组右特征向量使用“求”算法。

[V2,D2] = eig(A,A，“求”）
V2 =2×21 0 0 1
D2 =2×21 0 0 1

检查一下“胆固醇”结果满足A* v1 = A* v1 * d1．

格式短A* v1 - A* v1 * d1
ans =2×210-23年× 0.1654 0 0 -0.6617

现在，检查一下“求”结果满足A* v2 = A* v2 * d2．

A* v2 - A* v2 * d2
ans =2×20 0 0 0

当两个矩阵都是对称的，eig使用“胆固醇”默认算法。在这种情况下，QZ算法返回更准确的结果。

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创建一个2 × 2单位矩阵，一个，和奇异矩阵，B．

A =眼睛(2);B = [3 6;4 8];

如果你试图计算矩阵的广义特征值 B - 1 一个 用命令[V,D] = eig(B\A)，则MATLAB®返回错误，因为B \生产正值。

相反，计算广义特征值和右特征向量通过传递两个矩阵到eig函数。

[V,D] = eig(A,B)
V =2×2-0.7500 -1.0000 -1.0000 0.5000
D =2×20.0909 0 0 Inf

最好分别传递两个矩阵，然后让eig选择解决问题的最佳算法。在这种情况下，eig (A, B)返回一组特征向量和至少一个实数特征值B不是可逆的。

验证 一个 v ＝ λ B v 对于第一个特征值和第一个特征向量。

eigval = D(1,1);igvec = V(:，1);A*特征向量-特征向量*B*特征向量
ans =2×110-15年× 0.1110 0.2220

理想情况下，特征值分解满足关系。由于分解是使用浮点计算执行的，那么A * eigvec最多能接近吗eigval * B * eigvec，就像在这种情况下一样。

输入参数

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输入矩阵，指定为实方阵或复方阵。

数据类型:双|单
复数支持:金宝app是的

广义特征值问题的输入矩阵，指定为实值或复值的方阵。B一定要和一个．

数据类型:双|单
复数支持:金宝app是的

平衡选项，指定为:“平衡”，使一个初步平衡步骤，或“nobalance”这就使它失效了。在大多数情况下，平衡步骤改善了调节一个为了产生更准确的结果。然而，在某些情况下，平衡会产生不正确的结果。指定“nobalance”当一个包含规模差异很大的值。例如，如果一个包含非零整数，以及非常小(接近零)的值，那么平衡步骤可能会缩放小值，使它们与整数一样重要，从而产生不准确的结果。

“平衡”是默认行为。有关平衡的更多信息，请参见平衡．

广义特征值算法，指定为“胆固醇”或“求”，选择用于计算一对广义特征值的算法。

算法 描述
“胆固醇” 的广义特征值一个而且B的Cholesky因式分解B．
“求” 采用QZ算法，也称为广义舒尔分解。该算法忽略了的对称性一个而且B．

通常，这两种算法返回相同的结果。QZ算法对于某些问题更稳定，比如那些涉及糟糕条件矩阵的问题。

当你省略算法参数,eig函数根据的属性选择算法一个而且B．它使用“胆固醇”对称(厄米)算法一个对称(厄米式)正定B．否则，它使用“求”算法。

无论您指定的算法是什么eig函数总是使用QZ算法时一个或B不是对称的。

特征值输出格式，指定为“向量”或“矩阵”．此选项允许您指定特征值是在列向量中返回还是在对角矩阵中返回。默认行为根据指定的输出数量而变化:

  • 如果指定一个输出，例如e = eig(A)，则特征值默认作为列向量返回。

  • 如果指定两个或三个输出，例如[V,D] = eig(A)，则特征值以对角矩阵的形式返回，D，默认为。

例子:D = eig(A，'matrix')返回具有one输出语法的特征值对角线矩阵。

输出参数

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特征值，作为包含多重特征值(或一对广义特征值)的列向量返回。每个特征值e (k)对应于右特征向量V (:, k)左边的特征向量W (:, k)．

右特征向量，作为一个方阵返回它的列是的右特征向量一个或者这对的广义右特征向量，(A, B)．的形式和规范V取决于输入参数的组合:

  • [V,D] = eig(A)收益矩阵V，它的列是的右特征向量一个这样A* v = v * d．中的特征向量V都是标准化的，所以每个的2模都是1。

    如果一个是真实的对称的，埃尔米特,或斜厄密，然后是右特征向量V正交。

  • [V,D] = eig(A，'nobalance')同时返回矩阵V．但是，每个特征向量的2范数不一定是1。

  • [V,D] = eig(A,B)而且[V,D] = eig(A,B，算法)返回V作为一个矩阵，它的列是广义右特征向量满足A* v = b * v * d．每个特征向量的2范数不一定是1。在这种情况下，D包含对的广义特征值，(A, B)，沿主对角线。

    当eig使用“胆固醇”对称(厄米)算法一个对称(厄米式)正定B，它规范化了特征向量V所以B-norm of each = 1。

不同的机器和MATLAB版本®可以产生不同的特征向量，在数值上仍然是准确的:

  • 对于实特征向量，特征向量的符号可以改变。

  • 对于复特征向量，特征向量可以乘以任何大小为1的复数。

  • 对于多个特征值，其特征向量可以通过线性组合进行重组。例如，如果一个x＝λx而且一个y＝λy,然后一个（x+y) =λ（x+y）,所以x+y也是的特征向量一个．

特征值，返回为带有特征值的对角线矩阵一个在主对角线上或者特征值对上，(A, B)，在主对角线上具有多重性。每个特征值D (k, k)对应于右特征向量V (:, k)左边的特征向量W (:, k)．

左特征向量，作为方阵返回它的列是的左特征向量一个或者广义左特征向量对，(A, B)．的形式和规范W取决于输入参数的组合:

  • [V,D,W] = eig(A)收益矩阵W，它的列是的左特征向量一个这样W'* a = d *W'．中的特征向量W都是标准化的，所以每个的2模都是1。如果一个是对称的,然后W和V．

  • [V,D,W] = eig(A，'nobalance')同时返回矩阵W．但是，每个特征向量的2范数不一定是1。

  • [V,D,W] = eig(A,B)而且[V,D,W] = eig(A,B，算法)返回W作为一个矩阵，它的列是广义左特征向量满足W'* a = d *W'* b．每个特征向量的2范数不一定是1。在这种情况下，D包含对的广义特征值，(A, B)，沿主对角线。

    如果一个而且B是对称的,然后W和V．

不同的机器和MATLAB版本可以产生不同的特征向量，它们在数值上仍然是准确的:

  • 对于实特征向量，特征向量的符号可以改变。

  • 对于复特征向量，特征向量可以乘以任何大小为1的复数。

  • 对于多个特征值，其特征向量可以通过线性组合进行重组。例如，如果一个x＝λx而且一个y＝λy,然后一个（x+y) =λ（x+y）,所以x+y也是的特征向量一个．

更多关于

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对称矩阵

  • 一个方阵，一个，是对称的，如果它等于它的非共轭转置，A = A。．

    对于矩阵元素，这意味着

    一个 我 ， j ＝ 一个 j ， 我 ．

  • 由于实矩阵不受复共轭的影响，一个对称的实矩阵也是厄米矩阵。例如，矩阵

    一个 ＝ ［ 1 0 0 2 1 0 1 0 1 ］

    既是对称的又是厄米的。

斜对称的矩阵

  • 一个方阵，一个，是斜对称的，如果它等于它的非共轭转置的负，A = -a。”．

    对于矩阵元素，这意味着

    一个 我 ， j ＝ − 一个 j ， 我 ．

  • 由于实矩阵不受复共轭的影响，一个倾斜对称的实矩阵也是倾斜厄米矩阵。例如，矩阵

    一个 ＝ ［ 0 − 1 1 0 ］

    既是斜对称的又是斜厄米的。

埃尔米特矩阵

  • 一个方阵，一个是厄米共轭的，如果它等于它的共轭转置，A = A'．

    对于矩阵元素，这意味着

    一个 我 ， j ＝ 一个 ¯ j ， 我 ．

  • 厄米矩阵对角线上的元素总是实数。由于实矩阵不受复共轭的影响，一个对称的实矩阵也是厄米矩阵。例如，矩阵

    一个 ＝ ［ 1 0 0 2 1 0 1 0 1 ］

    既是对称的又是厄米的。

  • 厄米矩阵的特征值是实数。

斜厄密矩阵

  • 一个方阵，一个如果它等于它的复共轭转置的负数，A = -a '．

    对于矩阵元素，这意味着

    一个 我 ， j ＝ − 一个 ¯ j ， 我 ．

  • 斜厄米矩阵对角线上的元素总是纯虚数或零。由于实矩阵不受复共轭的影响，一个倾斜对称的实矩阵也是倾斜厄米矩阵。例如，矩阵

    一个 ＝ ［ 0 − 1 1 0 ］

    既是斜厄米的又是斜对称的。

  • 斜厄米矩阵的特征值是纯虚数或零。

提示

  • 的eig函数可以计算实对称稀疏矩阵的特征值。要计算稀疏矩阵的特征向量，或计算非实对称稀疏矩阵的特征值，请使用eigs函数。

扩展功能

版本历史

R2006a之前介绍

全部展开

R2021b的行为发生了变化

另请参阅

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