用反斜杠(金宝搏官方网站＼),lsqminnorm．用解的2范数比较结果。金宝搏官方网站

当存在无穷解时金宝搏官方网站 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$，每一个都极小 $为\mathrm{斧头}-\mathit{b}为$．反斜杠命令(＼)计算一个这样的解，但这个解通常不最小化 $为\mathit{x}为$．计算的解为lsqminnorm不仅是最小化规范(*取向)，但也规范(x)．

考虑一个有一个方程和两个未知数的简单线性系统， $2{\mathit{x}}_1+3.{\mathit{x}}_2＝8$．这个系统是欠定的因为方程比未知数少。用反斜杠和求解方程lsqminnorm．

A = [2 3];B = 8;x_a = A\b

x_a =2×10 2.6667

x_b = lsqminnorm(A,b)

x_b =2×11.2308 - 1.8462

这两种方法获得不同的解决方案，因为反斜杠只旨在最小化金宝搏官方网站规范(*取向),而lsqminnorm也旨在将规范(x)．计算这些规范，并将结果放在表格中，以便比较。

S1 = {“反斜杠”；“lsqminnorm”};S2 = {“norm_Ax_minus_b”，“norm_x”};T = table([A*x_a-b);规范(* x_b-b)]、[规范(x_a);规范(x_b)),“RowNames”s1,“VariableNames”s2)

T =2×2表norm_Ax_minus_b norm_x  _______________ ______ 反斜杠0 2.6667 lsqminnorm 8.8818 e-16 2.2188

该图说明了这种情况，并显示了每个方法返回的解决方案。金宝搏官方网站蓝线表示这个方程的无穷多个解金宝搏官方网站 ${\mathit{x}}_2＝-\frac{2}{3.}{\mathit{x}}_1+\frac{8}{3.}$．橙色圆圈表示从原点到解的直线的最小距离，以及返回的解金宝搏官方网站lsqminnorm恰好在直线和圆之间的切点上，表明它是最接近原点的解。

显示如何指定一个公差的秩计算lsqminnorm可以帮助定义问题的规模，以便随机噪声不会破坏解决方案。

创建一个秩5的低秩矩阵和一个右边向量b．

rng默认的再现率%U = randn(200,5);V = randn(100,5);A = u * v ';b = U*randn(5,1) + 1e-4*randn(200,1);

解线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用lsqminnorm．计算的规范A *取向而且x检查溶液的质量。

x = lsqminnorm(A,b);规范(*取向)

Ans = 0.0014

规范(x)

Ans = 0.1741

现在给矩阵添加少量的噪声一个再解一次线性方程组。噪声影响解向量x线性系统的不成比例。

噪声= A + 1e-12*randn(200,100);xnoise = lsqminnorm(噪声，b);范数(噪声*噪声- b)

Ans = 0.0010

规范(xnoise)

Ans = 1.1215e+08

的低秩近似受到噪声的影响，这是导致两种解存在较大差异的原因金宝搏官方网站一个．换句话说，lsqminnorm是否处理对角线上的小值R矩阵的QR分解一个比他们本身更重要。理想情况下，这些对角线上的小值R应该被视为零。

的对角线元素R矩阵的QR分解声音吵醒．大量对角线元素的数量级为1e-10。

[Q,R,p] = qr(噪声，0);semilogy (abs(诊断接头(R)),“o”）

解决这个问题的方法是增加所使用的公差lsqminnorm这是一个低秩近似声音吵醒计算中采用误差小于1e-8的方法。这使得结果更不容易受到噪音的影响。使用公差的解非常接近原解x．

xnoise = lsqminnorm(Anoise, b, 1e-8);范数(噪声*噪声- b)

Ans = 0.0014

规范(xnoise)

Ans = 0.1741

范数(x - xnoise)

Ans = 1.0811e-14

求解一个包含低秩系数矩阵且开启警告的线性系统。

创建一个秩为2的3 × 3矩阵。在这个矩阵中，你可以通过将前两列相加得到第三列。

A = [1 2 3;4 5 9;6 7 13]

一个=3×31 2 3 4 5 9 6 7 13

求问题的最小范数-最小二乘解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$,在那里 $\mathit{b}$等于里面的第二列 $\mathit{一个}$．指定“警告”国旗为lsqminnorm如果检测到，则显示警告一个地位很低。

b = A(:，2);x = lsqminnorm(A,b，“警告”）

警告:Rank不足，Rank = 2, tol = 1.072041e-14。

x =3×1-0.3333 0.6667 0.3333