计算一个矩阵的LU因式分解，并检查得到的因子。LU分解是一种分解矩阵的方法 $\mathit{一个}$变成一个上三角矩阵 $\mathit{U}$，一个下三角矩阵 $\mathit{l}$，和排列矩阵 $\mathit{P}$这样 $\mathrm{巴勒斯坦权力机构}＝\mathrm{陆}$．这些矩阵描述了在矩阵上执行高斯消去直到它变成行简化阶梯形所需的步骤。的 $\mathit{l}$矩阵包含了所有的乘数，还有排列矩阵 $\mathit{P}$用于行交换。

创建一个3 × 3矩阵并计算LU因子。

A = [10 -7 0 -3 2 6 5 -1 5];

[L,U] = lu(A)

L =3×31.0000 00 -0.3000 -0.0400 1.0000 0.5000 1.0000 0

U =3×310.0000 -7.0000 00 2.5000 5.0000 00 6.2000

将这些因素相乘来重建一个．使用双输入语法，陆合并排列矩阵P直接进入l因子，使l回归真的是P ' * L因此A = l * u．

L * U

ans =3×310.0000 -7.0000 0 -3.0000 2.0000 6.0000 5.0000 -1.0000 5.0000

您可以指定三个输出来将排列矩阵与中的乘数分离l．

[L,U,P] = lu(A)

L =3×31.0000 00 0.5000 1.0000 0 -0.3000 -0.0400 1.0000

U =3×310.0000 -7.0000 00 2.5000 5.0000 00 6.2000

P =3×31 0 0 0 0 1 0 10 0

P ' * L * U

ans =3×310.0000 -7.0000 0 -3.0000 2.0000 6.0000 5.0000 -1.0000 5.0000

通过执行LU分解并使用因子简化问题来求解线性系统。使用反斜杠操作符和将结果与其他方法进行比较分解对象。

创建一个5乘5的魔方矩阵并求解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所有的元素b等于65，神奇的和。由于65是这个矩阵的神奇和(所有的行和列加起来都是65)，对于的期望解x是1s的向量。

A =魔术(5);B = 65*ones(5,1);x = A\b

x =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000

对于一般的方阵，反斜杠运算符使用LU分解计算线性系统的解。LU分解表示一个作为三角矩阵的乘积，涉及三角矩阵的线性方程组很容易用代换公式求解。

要重新创建由反斜杠计算的答案，请计算的LU分解一个．然后，利用因子求解两个三角形线性系统:

y = L\(P*b);x = U\y;

这种在求解线性系统之前预计算矩阵因子的方法可以在求解许多线性系统时提高性能，因为分解只发生一次，不需要重复。

[L,U,P] = lu(A)

L =5×51.0000 0000 0.7391 1.0000 0000 0.4783 0.7687 1.0000 00 0.1739 0.2527 0.5164 1.0000 0 0.4348 0.4839 0.7231 0.9231 1.0000

U =5×523.0000 5.0000 7.0000 14.0000 16.0000 0 20.3043 -4.1739 -2.3478 3.1739 00 24.8608 -2.8908 -1.0921 000 19.6512 18.9793 0000 -22.2222

P =5×50 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

y = L\(P*b);x = U\y

x =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000

的分解对象在使用专门的因式分解求解线性系统时也很有用，因为预先计算矩阵因式可以获得许多性能好处，但不需要知道如何使用这些因式。属性使用分解对象“陆”键入以重新创建相同的结果。

dA =分解(A，“陆”）;x = dA\b

x =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000

计算一个稀疏矩阵的LU因式分解，并验证其恒等式L* u = p * s * q．

创建巴克敏斯特-富勒测地线穹顶连通性图的60 × 60稀疏邻接矩阵。

S =结实的;

计算的LU因式分解年代使用带有四个输出的稀疏矩阵语法返回行和列排列矩阵。

[L,U,P,Q] = lu(S);

排列的行和列年代与P * *将结果与三角形因子相乘进行比较L * U．其差值的1范数在舍入误差范围内，表明L* u = p * s * q．

e = P*S*Q - L*U;规范(e, 1)

Ans = 5.7732e-15

计算矩阵的LU因式分解。通过将行排列返回为向量而不是矩阵来节省内存。

创建一个1000乘1000的随机矩阵。

A =兰特(1000);

用存储为矩阵的排列信息计算LU因式分解P．将结果与存储为向量的排列信息进行比较p．矩阵越大，使用排列向量的内存效率就越高。

[L1,U1,P] = lu(A);[L2,U2,p] = lu(A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A，“向量”）;谁Pp

名称大小字节类属性P 1000x1000 8000000 double P 1x1000 8000 double

使用排列向量还可以节省后续操作的执行时间。例如，您可以使用前面的LU因式分解来求解线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．虽然从排列向量和排列矩阵得金宝搏官方网站到的解是等价的(四舍五入)，但使用排列向量的解通常需要更少的时间。

比较有列排列和没有列排列的稀疏矩阵的LU分解计算结果。

加载west0479矩阵，这是一个实值479 × 479的稀疏矩阵。

负载west0479A = west0479;

计算的LU因式分解一个通过调用陆有三个输出。生成L和U因子的间谍图。

[L,U,P] = lu(A);次要情节(1,2,1)间谍(L)标题(“L因素”)副图(1,2,2)间谍(U)标题(“U因子”）

现在，计算LU因式分解一个使用陆有四个输出，排列的列一个减少因子中非零的个数。得到的因子比不使用列排列要稀疏得多。

[L,U,P,Q] = lu(A);次要情节(1,2,1)间谍(L)标题(“L因素”)副图(1,2,2)间谍(U)标题(“U因子”）