问题定义

考虑建造一个马戏团帐篷来覆盖一个广场。帐篷有五根杆子，上面覆盖着一种沉重的、有弹性的材料。问题是要找到帐篷的自然形状。将形状建模为高度x（p)帐篷的位置p．

重力:重物升到高度时的势能x是残雪，对于常数c这与材料的重量成正比。对于这个问题，请选择c= 1/3000。

一块材料的弹性势能 $$E_{\mathrm{年代}tretch}$$大约正比于材料高度的二阶导数，乘以高度。你可以用5点有限差分近似来近似二阶导数(假设有限差分步长为1) $$\Delta x$$表示在第一个坐标方向上移位1，和 $$\Delta y$$表示在第二个坐标方向上移动1。

帐篷的自然形状使总势能最小化。通过离散化问题，你会发现要最小化的总势能是所有位置的和p的 $$E_{\mathrm{年代}tretch}（p）$$+残雪（p）.

势能是变量中的二次表达式x．

指定边界条件，即帐篷边缘的高度为零。帐篷杆的横截面为1 × 1单位，帐篷的总尺寸为33 × 33单位。指定每个极点的高度和位置。划出方形地段和帐篷杆。

高度= 0 (33);高度(6:7,6:7)= 0.3;高度(26:27,26:27)= 0.3;身高(6:7,26:27)= 0.3;身高(26:27,6:7)= 0.3;高度(16:17,16:17)= 0.5;colormap(灰色);surfl(高度)轴紧视图([-20,30]);标题(“帐篷杆和覆盖区域”）

创建边界条件

的高度矩阵定义了解的下界x．若要限制解在边界处为零，请设置上界乌兰巴托在边界上为零。

border = false(size(height));Boundary ([1,33]，:) = true;Boundary (:，[1,33]) = true;Ub = inf(大小(边界));大部分区域没有上界Ub(边界)= 0;

创建目标函数矩阵

的quadprog问题的提法是最小化

$$\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x$$．

在这种情况下，是线性项 $$f^{T}x$$对应于材料高度的势能。因此,指定f的每个成分= 1/3000x．

F = ones(尺寸(高度))/3000;

创建有限差分矩阵表示 $$E_{\mathrm{年代}tretch}$$通过使用delsq函数。的delsq函数返回一个包含4和-1项的稀疏矩阵，对应于公式中的4和-1项 $$E_{\mathrm{年代}tretch}（p）$$．将返回的矩阵乘以2得到quadprog用所给出的能量函数求解二次规划 $$E_{\mathrm{年代}tretch}$$．

H = delsq(numgrid(“年代”, 33 + 2) * 2;

查看矩阵的结构H．矩阵作用于x (:)，也就是矩阵x通过线性索引转换为向量。

间谍(H);标题(“Hessian矩阵的稀疏结构”）;

运行优化求解器

打电话解决问题quadprog．

x = quadprog(H,f，[]，[]，[]，[]， []，height,ub);

最小值满足约束条件。优化完成是因为目标函数在可行方向上不递减，在最优性容差值范围内，约束条件满足在约束容差值范围内。

策划解决方案

重塑解决方案x到一个矩阵年代．然后画出解。

S =重塑(x，大小(高度));surfl(年代);轴紧；视图([-20,30]);