非线性数据配件
这个例子展示了如何使用几个优化工具箱™算法来匹配一个非线性函数到数据。
问题的设置
考虑以下数据：
数据=.．.[0.0000 5.8955 0.1000 3.5639 0.2000 2.5173 0.3000 1.9790 0.4000 1.8990 0.5000 1.3938 0.6000 1.1359 0.7000 1.0096 0.8000 1.0343 0.9000 0.8435 1.0000 0.6856 1.1000 0.6100 1.2000 0.5392 1.3000 0.3946 1.4000 0.3903 1.5000 0.5474 1.6000 0.3459 1.7000 0.1370 1.8000 0.2211 1.9000 0.1704 2.0000 0.2636];
让我们绘制这些数据点。
t =数据(:1);y =数据(:,2);%轴([0 2 -0.5 6])％ 坚持，稍等绘图（t，y，“罗”） 标题（'数据点'）
%推迟
我们想要拟合函数
Y = C（1）* exp（ - - - 1）* T）+ C（2）* exp（ - - - 2）* T）
到数据。
解决方案方法使用lsqcurvefit
的lsqcurvefit函数可以轻松地解决这类问题。
首先，根据一个变量X定义参数：
X（1）= C（1）
X（2）=林（1）
X（3）= C（2）
林x (4) = (2)
然后将曲线定义为参数x和数据t的函数：
f = @（x，xdata）x（1）* exp（-x（2）* xdata）+ x（3）* exp（-x（4）* xdata）;
我们任意设初始点x0为:c(1) = 1, lam(1) = 1, c(2) = 1, lam(2) = 0:
X0 = [1 1 1 0];
我们运行求解器并绘制得到的合适。
[x，Resnorm，〜，ExitFlag，输出] = LSQCurveFit（F，X0，T，Y）
局部最小值。Lsqcurvefit停止是因为相对于其初始值的平方和的最终变化小于函数公差的值。
x =1×43.0068 10.5869 2.8891 1.4003
resnorm = 0.1477
ExitFlag = 3.
输出=结构与字段：Firstorderopt：7.8851E-06迭代：6 Funccount：35 Cgiterations：0算法：'信任区域 - 反光'步骤：0.0096消息：'...'
持有在绘图（t，f（x，t））保持离开
解决方案方法使用fminunc
使用解决问题fminunc，我们将目标函数设为残差的平方和。
fsumsquares = @（x）和（（f（x，t） - y）。^ 2）;opts = Optimoptions（“fminunc”，'算法'，'quasi-newton'）;[xunc, ressquared eflag outputu] =.．.fminunc（fsumsquares，x0，选择）
局部最小值。优化完成，因为梯度的大小小于最优公差的值。
xunc =1×42.8890 1.4003 3.0069 10.5862
ressquared = 0.1477
eflag = 1
Outputu =结构与字段：迭代：30 Funccount：185 STAPEIZE：0.0017 LSSTEPLENTE：1：2.9662E-05算法：'Quasi-Newton'消息：'...'
注意fminunc找到了相同的解决方案lsqcurvefit，但需要进行更多的函数求值。的参数fminunc与那些相反的顺序lsqcurvefit；大的是lam(2)，不是lam(1)。这并不奇怪，变量的顺序是任意的。
fprintf（[“使用fminunc，”有％d迭代，“.．.'和％d使用lsqcurvefit。\ n']，.．.OutputU.Iltations，Output.Iltations）
使用fminunc进行了30次迭代，使用lsqcurvefit进行了6次迭代。
fprintf（[“使用Fminunc的％D函数评估”.．.'和％d使用lsqcurvefit。']，.．.outputu.funccount，output.funccount）
使用Fminunc和35使用LSQCurveFit有185个功能评估。
分解线性和非线性问题
请注意，拟合问题是参数C（1）和C（2）中的线性。这对于任何LAM（1）和LAM（2）的值，我们可以使用反斜杠操作员找到解决最小二乘问题的C（1）和C（2）的值。
我们现在将问题重新制作作为二维问题，搜索Lam（1）和Lam（2）的最佳值。如上所述，使用反斜杠运算符在每个步骤中计算C（1）和C（2）的值。
类型fitvector
用于DATDEMO拟合函数的返回值。% yEst = FITVECTOR(lam,xdata)在参数设置为lam的数据点xdata处返回拟合函数的值y %(定义如下)。% yEst作为N乘1的列向量返回，其中N是%数据点的个数。% % FITVECTOR假设拟合函数y的形式为% % y = c(1)*exp(-lam(1)*t) +…+ c(n)*exp(-lam(n)*t) % %具有n个线性参数c, n个非线性参数lam。为了求解线性参数c，我们构建一个矩阵a %，其中a的第j列是exp(-lam(j)*xdata) (xdata是一个向量)。然后我们求解线性最小二乘解c的A*c = ydata，其中ydata是y的观测值。A = 0(长度(xdata)，长度(lam));A(:，j) = exp(-lam(j)*xdata);c = A\ydata;%解线性参数A*c = y % return the estimated response based on c
解决问题使用lsqcurvefit，从二维初始点lam(1)、lam(2)开始:
X02 = [1 0];F2 = @(x,t) fitvector(x,t,y);(x2, resnorm2, ~, exitflag2 output2] = lsqcurvefit (F2, x02 t y)
局部最小值。Lsqcurvefit停止是因为相对于其初始值的平方和的最终变化小于函数公差的值。
x2 =1×210.5861 1.4003
Resnorm2 = 0.1477.
exitflag2 = 3
output2 =结构与字段：firstderopt: 4.4097e-06迭代:10 funcCount: 33 cgiterations: 0 algorithm:‘trust-region-reflective’stepsize: 0.0080 message:‘…’
二维解决方案的效率类似于四维解决方案的效率：
fprintf（[“使用2-D”有％D函数评估.．.'配方，使用4-D配方的％d。]，.．.Output2.Funccount，Output.funccount）
使用2d配方的功能评价有33项，使用4d配方的功能评价有35项。
分割问题对初始猜测更有鲁棒性
为原始的四参数问题选择一个不好的起始点会导致一个非全局的局部解。对于分裂双参数问题，选取具有相同坏lam(1)和坏lam(2)值的起始点，得到全局解。为了证明这一点，我们用一个导致相对较差的局部解的起始点重新运行原始问题，并将结果与全局解进行比较。
X0bad = [5 1 1 0];[xbad, resnormbad, ~, exitflagbad outputbad] =.．.lsqcurvefit（f，x0bad，t，y）
局部最小值。Lsqcurvefit停止是因为相对于其初始值的平方和的最终变化小于函数公差的值。
XBAD =1×4-22.9036 2.4793 28.0274 2.4791
resnormbad = 2.2173
ExitFlagbad = 3.
outputbad =结构与字段：firstderopt: 0.0059迭代:32 funcCount: 165 cgiterations: 0 algorithm:‘trust-region-reflective’stepsize: 0.0021 message:‘…’
持有在绘图（t，f（xbad，t），'G')传说('数据'，“全球健康”，'糟糕的地方合身'，'地点'，'ne'） 抓住离开
fprintf（['良好终点的残差范数是%f '.．.'坏结局点的残余标准是％f。']，.．.Resnorm，ResnorMBAD）
良好结束点处的残余规范为0.147723，坏结束点的残余规范为2.217300。
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