主要内容gydF4y2Ba

有限元方法基础gydF4y2Ba

核心的偏微分方程工具箱™算法使用有限元方法(FEM)在2-D或3-D空间的有界域上定义的问题。在大多数情况下，初等函数不能表示复杂几何上简单偏微分方程的解。金宝搏官方网站有限元法通过在几何图形上生成网格，将复杂的几何图形描述为子域的集合。例如，您可以用三角形(2-D几何)或四面体(3-D几何)的联合来近似计算域Ω。子域形成一个网格，每个顶点称为一个节点。下一步是使用更简单的方程来近似每个子域上的原始偏微分方程问题。gydF4y2Ba

例如，考虑基本的椭圆方程。gydF4y2Ba

−gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ⋅gydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba fgydF4y2Ba 在域gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba

假设这个方程服从狄利克雷边界条件gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba rgydF4y2Ba 在gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba DgydF4y2Ba 和诺伊曼边界条件gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba ．在这里,gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba DgydF4y2Ba ∪gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba 是Ω的边界。gydF4y2Ba

在FEM的第一步是转换原始的微分(gydF4y2Ba强大的gydF4y2Ba)将偏微分方程转换为积分(gydF4y2Ba弱gydF4y2Ba)的形式与测试函数相乘gydF4y2Ba vgydF4y2Ba 并在Ω域上进行积分。gydF4y2Ba

∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba （gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ·gydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba −gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba

测试函数从消失在边界的狄利克雷部分的函数集合(函数空间)中选择，gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba DgydF4y2Ba ．上面的方程可以认为是使用所有可能的加权函数对残差进行加权平均gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ．是容许解的函数集合，金宝搏官方网站gydF4y2BaugydF4y2Ba，使它们满足Dirichlet BC，gydF4y2BaugydF4y2Ba＝gydF4y2BargydF4y2Ba在gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba DgydF4y2Ba ．gydF4y2Ba

对二阶项进行分部积分(格林公式)得到:gydF4y2Ba

∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba vgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba vgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba ngydF4y2Ba →gydF4y2Ba ·gydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba DgydF4y2Ba ngydF4y2Ba →gydF4y2Ba ·gydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba DgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba fgydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba

用诺伊曼边界条件代替方程左边的第二项。另外，请注意gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba DgydF4y2Ba 使第三项无效。得到的方程为:gydF4y2Ba

∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba vgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba vgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba 问gydF4y2Ba ugydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba ggydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba fgydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba

请注意，到此阶段为止的所有操作都是在连续体Ω上执行的，这是问题的全局域。因此，容许函数和试函数的集合跨越无限维函数空间。下一步是将弱形式离散化，将Ω细分为更小的子域或元素gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba egydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∪gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba egydF4y2Ba ．这一步相当于将偏微分方程的弱形式投影到有限维子空间上。使用符号gydF4y2Ba ugydF4y2Ba hgydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba vgydF4y2Ba hgydF4y2Ba 表示定义在上的容许函数和试验函数的有限维等价gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba egydF4y2Ba ，可以将PDE的离散化弱形式写成:gydF4y2Ba

∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba egydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ugydF4y2Ba hgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba vgydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba hgydF4y2Ba vgydF4y2Ba hgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba egydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba egydF4y2Ba 问gydF4y2Ba ugydF4y2Ba hgydF4y2Ba vgydF4y2Ba hgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba egydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba egydF4y2Ba ggydF4y2Ba vgydF4y2Ba hgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba NgydF4y2Ba egydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba egydF4y2Ba fgydF4y2Ba vgydF4y2Ba hgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba egydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba hgydF4y2Ba

接下来,我们gydF4y2BaϕgydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2Ba我gydF4y2Ba= 1, 2，…，gydF4y2BaNgydF4y2BapgydF4y2Ba，为包含集合的子空间的分段多项式基函数gydF4y2Ba ugydF4y2Ba hgydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba vgydF4y2Ba hgydF4y2Ba ，则任何特别的gydF4y2Ba ugydF4y2Ba hgydF4y2Ba 可以表示为基函数的线性组合:gydF4y2Ba

ugydF4y2Ba hgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba NgydF4y2Ba pgydF4y2Ba UgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ϕgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba

在这里gydF4y2BaUgydF4y2Ba我gydF4y2Ba都是待定标量系数。替换gydF4y2Ba ugydF4y2Ba hgydF4y2Ba 转化为偏微分方程的离散弱形式，并分别使用它们gydF4y2Ba vgydF4y2Ba hgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba φgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 作为测试函数，对元素进行积分，得到一个系统gydF4y2BaNgydF4y2BapgydF4y2Ba用的方程gydF4y2BaNgydF4y2BapgydF4y2Ba未知数gydF4y2BaUgydF4y2Ba我gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

注意，有限元方法通过最小化相关的误差函数来近似求解。最小化过程自动寻找最接近解的基函数的线性组合gydF4y2BaugydF4y2Ba．gydF4y2Ba

有限元法得到一个系统gydF4y2BaKUgydF4y2Ba＝gydF4y2BaFgydF4y2Ba其中矩阵gydF4y2BaKgydF4y2Ba右边是gydF4y2BaFgydF4y2Ba包含测试函数的积分gydF4y2BaϕgydF4y2Ba我gydF4y2Ba，gydF4y2BaϕgydF4y2BajgydF4y2Ba，和系数gydF4y2BacgydF4y2Ba，gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba，gydF4y2BafgydF4y2Ba，gydF4y2Ba问gydF4y2Ba,gydF4y2BaggydF4y2Ba定义问题。解向量gydF4y2BaUgydF4y2Ba包含的展开系数gydF4y2BaugydF4y2BahgydF4y2Ba的值gydF4y2BaugydF4y2BahgydF4y2Ba在每个节点上gydF4y2BaxgydF4y2BakgydF4y2Ba（gydF4y2BakgydF4y2Ba= 1,2对于二维问题或者gydF4y2BakgydF4y2Ba3- d问题= 1,2,3)gydF4y2BaugydF4y2BahgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2BakgydF4y2Ba) =gydF4y2BaUgydF4y2Ba我gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

有限元技术也用于解决更普遍的问题，如:gydF4y2Ba

  • 时间的问题。解决方案gydF4y2BaugydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba，gydF4y2BatgydF4y2Ba方程的)gydF4y2Ba

    dgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba tgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ⋅gydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba fgydF4y2Ba

    可以近似为gydF4y2Ba

    ugydF4y2Ba hgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ，gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba NgydF4y2Ba UgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ϕgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

    其结果是一个常微分方程组(ode)gydF4y2Ba

    米gydF4y2Ba dgydF4y2Ba UgydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba +gydF4y2Ba KgydF4y2Ba UgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba FgydF4y2Ba

    两个时间导数得到一个二阶ODEgydF4y2Ba

    米gydF4y2Ba dgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba UgydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba KgydF4y2Ba UgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba FgydF4y2Ba

  • 特征值问题。解决gydF4y2Ba

    −gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ⋅gydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba λgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ugydF4y2Ba

    对于未知数gydF4y2BaugydF4y2Ba而且gydF4y2BaλgydF4y2Ba,在那里gydF4y2BaλgydF4y2Ba是复数。利用有限元离散化，可以解决代数特征值问题gydF4y2BaKUgydF4y2Ba＝gydF4y2BaλgydF4y2BaμgydF4y2Ba找到gydF4y2BaugydF4y2BahgydF4y2Ba作为一个近似gydF4y2BaugydF4y2Ba．要解决特征值问题，使用gydF4y2BasolvepdeeiggydF4y2Ba．gydF4y2Ba

  • 非线性问题。如果系数gydF4y2BacgydF4y2Ba，gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba，gydF4y2BafgydF4y2Ba，gydF4y2Ba问gydF4y2Ba,或gydF4y2BaggydF4y2Ba的函数gydF4y2BaugydF4y2Ba或∇gydF4y2BaugydF4y2Ba时，偏微分方程称为非线性，而有限元法得到的是非线性系统gydF4y2BaKgydF4y2Ba（gydF4y2BaUgydF4y2Ba）gydF4y2BaUgydF4y2Ba＝gydF4y2BaFgydF4y2Ba（gydF4y2BaUgydF4y2Ba）gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

综上所述，FEM方法:gydF4y2Ba

  1. 将问题的原始域表示为元素集合。gydF4y2Ba

  2. 对于每个元素，用一组局部近似原始方程的简单方程代替原始偏微分方程问题。为每个元素的边界应用边界条件。对于平稳线性问题，其中系数不依赖于解或它的梯度，结果是一个线性方程组。对于平稳问题，其中系数取决于解或其梯度，结果是一个非线性方程组。对于依赖时间的问题，结果是一组ode。gydF4y2Ba

  3. 将得到的方程和边界条件组合成一个全局方程组，对整个问题进行建模。gydF4y2Ba

  4. 分别使用线性求解器或数值积分来求解代数方程或ode的结果系统。工具箱在内部调用适当的MATLABgydF4y2Ba®gydF4y2Ba这个任务的解算器。gydF4y2Ba

参考文献gydF4y2Ba

罗伯特·D·库克，大卫·s·马尔库斯，迈克尔·e·普莱沙。gydF4y2Ba有限元分析的概念与应用“，gydF4y2Ba．第3版。纽约:约翰·威利父子公司，1989年。gydF4y2Ba

吉尔伯特·斯特朗和乔治·费克斯。gydF4y2Ba有限元法分析gydF4y2Ba．第二版。马萨诸塞州韦尔斯利:韦尔斯利-剑桥出版社，2008年。gydF4y2Ba

另请参阅gydF4y2Ba

|gydF4y2Ba|gydF4y2Ba