线性混合效应模型参数估计- MATLAB & Simulink - MathWorks Benelux金宝app

线性混合效应模型的参数估计

一个线性混合效应模型的形式

$y ＝ \underset{f 我 x e d}{\underset{︸}{X β}} + \underset{r 一个 n d o 米}{\underset{︸}{Z b}} + \underset{e r r o r}{\underset{︸}{ε}} ，$

在哪里

y是n-by-1响应向量，和n是观测的数量。
X是一个n——- - - - - -p固定效果设计矩阵。
β是一个p-by-1固定效果向量。
Z是一个n——- - - - - -问随机效应设计矩阵。
b是一个问-by-1随机效果向量。
ε是n-by-1观测误差向量。

随机效应向量，b，误差向量，ε，假设具有以下独立先验分布:

$\begin{array}{l} b ～ N （ 0 ， σ^{2} D （ θ ））， \\ ε ～ N （ 0 ， σ {}^{2}我）， \end{array}$

在哪里D一个对称的正半定矩阵，由方差分量向量参数化θ，我是一个n——- - - - - -n单位矩阵，和σ²是误差方差。

在这个模型中，估计的参数是固定效应系数β，和方差分量θ而且σ²．线性混合效应模型中最常用的两种参数估计方法是极大似然法和受限极大似然法。

最大似然(ML)

最大似然估计既包括回归系数，也包括方差分量，即似然函数中既有固定效应项，也有随机效应项。

对于上述定义的线性混合效应模型，响应变量的条件响应y鉴于β，b，θ， σ²是

$y | b ， β ， θ ， σ^{2} ～ N （ X β + Z b ， σ^{2} 我_{n} ）．$

可能性y鉴于β，θ， σ²是

$P （ y | β ， θ ， σ^{2} ）＝ \int P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2} ） P （ b | θ ， σ^{2} ） d b ，$

在哪里

$\begin{array}{l} P （ b | θ ， σ^{2} ）＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2} ）}^{\frac{问}{2}}} \frac{1}{{| D （ θ ） |}^{\frac{1}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} b^{T} D^{- 1} b ｝而且 \\ P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2} ）＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2} ）}^{\frac{n}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} {（ y - X β - Z b ）}^{T} （ y - X β - Z b ）｝． \end{array}$

假设Λ(θ的下三角Cholesky因子D（θ)及Δ(θ)是Λ(θ)．然后,

$D {（ θ ）}^{- 1} ＝ Δ {（ θ ）}^{T} Δ （ θ ）．$

定义

$r^{2} （ β ， b ， θ ）＝ b^{T} Δ {（ θ ）}^{T} Δ （ θ ） b + {（ y - X β - Z b ）}^{T} （ y - X β - Z b ），$

假设b^*的值b满足

${\frac{\partial r^{2} （ β ， b ， θ ）}{\partial b} |}_{b^{*}} ＝ 0$

对于给定β而且θ．则似然函数为

$P （ y | β ， θ ， σ^{2} ）＝ {（ 2 π σ^{2} ）}^{- \frac{n}{2}} {| D （ θ ） |}^{- \frac{1}{2}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} r^{2} （ β ， b^{*} （ β ）， θ ）｝ \frac{1}{{| Δ^{T} Δ + Z^{T} Z |}^{\frac{1}{2}}} ．$

P (y |β，θ,σ²)首先对β和σ²对于给定条件θ．因此优化方案金宝搏官方网站 $\overset{＾}{β} （ θ ）$ 而且 ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ）$ 的函数θ．将这些解代入似然函数得到金宝搏官方网站 $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ ）， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ））$ ．这个表达式被称为轮廓似然β和σ²已经被划掉了。 $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ ）， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ））$ 是一个函数θ，然后算法对。进行优化θ．一旦它找到的最佳估计θ，估计的β和σ²是由 $\overset{＾}{β} （ θ ）$ 而且 ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ）$ ．

ML方法处理β作为固定但未知的量时，方差分量估计，但不考虑自由度损失估计固定效应。这导致ML估计有较小的偏差。然而，ML相对于REML的一个优点是可以比较两个模型的固定效应和随机效应项。另一方面，如果使用REML估计参数，则只能比较两个模型，它们嵌套在随机效应项中，具有相同的固定效应设计。

限制极大似然(REML)

限制性极大似然估计仅包括方差分量，即线性混合效应模型中参数化随机效应项的参数。β在第二步中进行估计。假设一个均匀的不恰当先验分布β，将似然P(y|β，θ,σ²)关于β结果为有限似然P(y|θ,σ²)．也就是说,

$P （ y | θ ， σ^{2} ）＝ \int P （ y | β ， θ ， σ^{2} ） P （ β ） d β ＝ \int P （ y | β ， θ ， σ^{2} ） d β ．$

算法首先进行轮廓分析 ${\overset{＾}{σ}}_{R}^{2}$ 最大化剩下的目标函数θ找到 ${\overset{＾}{θ}}_{R}$ ．然后，限制似然相对于σ最大化²找到 ${\overset{＾}{σ}}_{R}^{2}$ ．然后，它估计β通过求它关于后验分布的期望值

$P （ β | y ， {\overset{＾}{θ}}_{R} ， {\overset{＾}{σ}}_{R}^{2} ）．$

REML解释了通过估计固定效应而损失的自由度，并对随机效应方差进行了偏倚较小的估计。的估计θ和σ²的值不变吗β与ML估计相比，对数据中的异常值不太敏感。但是，如果使用REML来估计参数，则只能比较具有相同固定效应设计矩阵并且嵌套在随机效应项中的两个模型。

参考文献

j·C·皮涅里奥和d·m·贝茨。S和S- plus中的混合效应模型．统计与计算系列，施普林格，2004。

[2]哈里哈兰，S.和J. H.罗杰斯。递阶线性模型的估计方法教育数据的多层建模(A. A. Connell和D. B. McCoach主编)。北卡罗来纳州夏洛特:信息时代出版公司，2008年。

[3] s.w.罗登布什和a.s.布赖克。层次线性模型:应用与数据分析方法，第二版。加州千橡市:Sage出版社，2002年。

[4] Hox, J。多层次分析、技术与应用．Lawrence Erlbaum Associates, Inc, 2002。

[5]斯奈德杰斯，T.和R.博斯克。多层次分析．加州千橡市:Sage出版社，1999年。

[6]麦卡洛克，c.e.， R. S.谢勒，J. M.纽豪斯。广义、线性和混合模型．威利,2008年。

另请参阅

LinearMixedModel|fitlme|fitlmematrix

线性混合效应模型的参数估计

最大似然(ML)

限制极大似然(REML)

参考文献

另请参阅

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