加权非线性回归

数据和模型

我们将使用收集的数据来研究水污染由工业和国内废物引起的。详细描述这些数据框,几何级数,W.G. Hunter, and J.S. Hunter, Statistics for Experimenters (Wiley, 1978, pp. 483-487). The response variable is biochemical oxygen demand in mg/l, and the predictor variable is incubation time in days.

x = [1 2 3 5 7 10]”;y = (109 149 149 191 213 224) ';情节(x, y,“柯”)包含(“孵化(天),x ')ylabel (“生化需氧量(毫克/升),y ')

我们假设众所周知,前两个观测精度是用少于其余观测。例如,他们可能已经用不同的乐器。重量数据的另一个常见原因是,每个记录观察实际上是几个度量值的平均值在相同的值(x)的数据,假设第一个两个值代表的是单一的原始测量,而其余四个都5原始测量值的平均值。然后它将适当的体重测量的数量每观察。

w = [1 1 5 5 5 5] ';

适合没有权重模型

我们适合这些数据模型是一个按比例缩小的指数曲线,变水平x就大了。

modelFun = @ (b, x) b (1) * (1-exp (- b (2)。* x));

基于一个粗略的视觉健康,似乎一条曲线绘制通过点可能水平的价值约240的价位是x = 15。所以我们将使用240作为b1的起始值,因为e ^(闲置* 15)小于1,我们将使用5为b2的起始值。

开始= [240;5);

忽视了测量误差的危险是适应可能会过于受不精确的测量,并可能因此不提供一个良好的适合测量精确已知。让我们适应数据没有重量和比较点。

nlm = fitnlm (x, y, modelFun,开始);xx = linspace (0, 12) ';线(xx,预测(nlm, xx),“线型”,“——”,“颜色”,“k”)

注意,拟合曲线是把对前两个点,但似乎错过其他点的趋势。

符合模型权重

让我们尝试重复使用重量。

modelFun wnlm = fitnlm (x, y,开始,“重量”w)

wnlm =非线性回归模型:y ~ b1 * (1 - exp (- b2 * x))估计系数:估计SE tStat pValue说______ __________ b1 e-05 b2 0.40078 0.064296 6.2333 3.0134 225.17 10.7 21.045 0.0033745的观测数量:6,错误自由度:4根均方误差:24平方:0.908,调整平方0.885 f统计量与零模型:696年,假定值= 8.2 e-06

线(xx,预测(wnlm, xx),“颜色”,“b”)

估计总体标准偏差在这种情况下,描述了“标准”的平均变化与体重,观察或测量精度为1。

wnlm.RMSE

ans = 24.0096

任何分析的一个重要组成部分是一个估计的模型的精度。的系数显示显示了参数标准误差,但我们也可以计算置信区间。

coefCI (wnlm)

ans =2×2195.4650 254.8788 0.2223 0.5793

估计响应曲线

接下来,我们将计算拟合响应值和置信区间。默认情况下,这些宽度为边界点态信心的预测价值,但我们将请求同步间隔为整个曲线。

[ypred, ypredci] =预测(wnlm, xx,“同时”,真正的);情节(x, y,“柯”xx ypred,“b -”xx ypredci,“:”)包含(“x”)ylabel (“y”)ylim(350年[-150])传说({“数据”,“加权匹配”,95%置信区间的},…“位置”,“东南”)

注意到两个downweighted点也不适合其余点的曲线。如你所愿的加权。

也可以指定值的估计预测未来观测间隔x。这些间隔实际上承担重量,或测量精度为1。

[ypred, ypredci] =预测(wnlm, xx,“同时”,真的,…“预测”,“观察”);情节(x, y,“柯”xx ypred,“b -”xx ypredci,“:”)包含(“x”)ylabel (“y”)ylim(350年[-150])传说({“数据”,“加权匹配”,“95%预测限制”},…“位置”,“东南”)

权重的绝对规模实际上并不影响参数估计。重新调节任意常数的权重会给我们同样的估计。但它们确实影响信心界限,因为边界表示与体重的观察1。在这里您可以看到点较高的体重似乎太接近安装线,限制与信心。

假设我们感兴趣的一个新的观察,基于五个测量的平均值,就像过去四分在这个阴谋。通过使用指定观察权重权重名称-值参数的预测函数。

[new_ypred, new_ypredci] =预测(wnlm, xx,“同时”,真的,…“预测”,“观察”,“重量”5 *的(大小(xx)));情节(x, y,“柯”xx new_ypred,“b -”xx new_ypredci,“:”)包含(“x”)ylabel (“y”)ylim(350年[-150])传说({“数据”,“加权匹配”,“95%预测限制”},…“位置”,“东南”)

的预测函数估计误差方差的观察我通过MSE * (1 / W (i)),在那里均方误差均方误差。因此,置信区间变得狭窄。

残留分析

除了绘制数据和健康,画出适合对预测残差,诊断与模型的任何问题。残差应该出现独立同分布(先验知识)。但方差与权值的倒数成正比。情节i.i.d.标准化残差确认值相同的方差。标准化残差原始残差除以标准差估计。

r = wnlm.Residuals.Standardized;情节(x, r,“b ^”)包含(“x”)ylabel (标准化残差的)

有证据表明系统模式的残余阴谋。注意最后四残差有线性趋势,表明该模型可能不足够快当x的增加而增加。同时,残差的大小会减少当x增加,表明测量误差可能取决于x。这些值得调查,然而,有那么几个数据点,很难对这些明显的附加意义的模式。